《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】
(1)对数式$\log_{(x - 1)}(x + 2)$中实数x的取值范围是(1,2) ∪ (2, +∞).

答案：
(1)$(1,2) \cup (2, +\infty)$

 （2）将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式.
①$2^{-7}=\frac{1}{128}$； ②$\log_{\frac{1}{2}}32=-5$；
③$\lg1000 = 3$； ④$\ln x = 2$.

答案： （2）解：①由$2^{-7} = \frac{1}{128}$，得$\log_2 \frac{1}{128} = -7$.
②由$\log_{\frac{1}{2}} 32 = -5$，得$(\frac{1}{2})^{-5} = 32$.
③由$\lg 1000 = 3$，得$10^3 = 1000$.
④由$\ln x = 2$，得$e^2 = x$.

1. 对数式$\log_{(x + 1)}(x - 1)^{2}$中x的取值范围是{x | x ＞ -1，且x ≠ 0,x ≠ 1}.

答案： 1.$\{x \mid x ＞ -1$，且$x \neq 0, x \neq 1\}$

2. 将下列指数式与对数式进行互化.
(1)$5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$；
(2)$\log_{\sqrt{2}}4 = 4$；
(3)$\lg0.001=-3$.

答案： 2.解：
(1)由$5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，得$\log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}$.
(2)由$\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$，得$(\sqrt{2})^4 = 4$.
(3)由$\lg 0.001 = -3$，得$10^{-3} = 0.001$.

【例2】
（1）求下列各式中x的值.
①$x=\log_{27}\frac{1}{9}$； ②$-\log_{8}x=\frac{2}{3}$；
③$\log_{x}8=-3$； ④$\log_{x}27=\frac{3}{4}$.
 （2）求下列各式的值.
①$\log_{\frac{1}{2}}8$； ②$-\ln\frac{1}{e^{2}}$.
【思路探索】
（1）在第（1）小题中，对于含有x的对数式，如何求x的值？
（2）在第（2）小题中，不是等式的形式，如何求值？

答案： （1）①$x = -\frac{2}{3}$. ②$x = \frac{1}{4}$. ③$x = \frac{1}{2}$.④$x = 81$.
@@（2）①设$\log_{\frac{1}{2}} 8 = x$，则$(\frac{1}{2})^x = 8$，即$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^{-3}$，所以$x = -3$，即$\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$.②设$-\ln \frac{1}{e^2} = x$，则$\ln \frac{1}{e^2} = -x$，即$e^{-x} = \frac{1}{e^2} = e^{-2}$，所以$x = 2$，即$-\ln \frac{1}{e^2} = 2$.
(1)先把对数转化为指数式,再求x
(2)设所求x的值为x,转化为等式的值

3. 已知$\log_{x}16 = 2$，则x = (B)

A.$\pm4$
B.4
C.256
D.2

答案： 3.B