《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 已知某种放射性物质经过 $ 100 $ 年剩余质量是原来质量的 $ 95.76\% $，设质量为 $ 1 $ 的这种物质，经过 $ x $ 年后剩余质量为 $ y $，则 $ x,y $ 之间的函数解析式是(B)

A.$ y = 0.9576^{100x} $
B.$ y = 0.9576^{\frac{x}{100}} $
C.$ y = (\frac{0.9576}{100})^{x} $
D.$ y = 1 - 0.0424^{\frac{x}{100}} $

答案： 1.B

2. 若某工厂的产值月平均增长率为 $ p $，则年平均增长率是(D)

A.$ (1 + p)^{11} $
B.$ (1 + p)^{12} $
C.$ (1 + p)^{11} - 1 $
D.$ (1 + p)^{12} - 1 $

答案： 2.D

3. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，此种溶液的杂质含量不能超过 $ 0.1\% $。若初始含杂质 $ 2\% $，每过滤一次可使杂质减少 $ \frac{1}{3} $，则至少应该过滤8次才能达到市场要求($ \lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771 $)。

答案： 3.8

4. $ 20 $ 世纪 $ 30 $ 年代，查尔斯·里克特提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 $ M $，其计算公式为 $ M = \lg A - \lg A_{0} $，其中，$ A $ 是被测地震的最大振幅，$ A_{0} $ 是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中距离造成的偏差)。
(1)假设在一次地震中，一个距离震中 $ 100 km $ 的测震仪测得的地震最大振幅是 $ 20 $，此时标准地震的振幅是 $ 0.001 $，计算这次地震的震级(精确到 $ 0.1 $)；
(2)$ 5 $ 级地震给人震感已比较明显，计算 $ 7.6 $ 级地震的最大振幅是 $ 5 $ 级地震最大振幅的多少倍(精确到 $ 1 $)。

答案： 4.解：
(1)依题意，知$M = \lg 20 - \lg 0.001 =$
$\lg\frac{20}{0.001}=\lg 20000=\lg 2 + \lg 10^{4}=4+$
$\lg 2\approx4.3.$
所以这是一次约里氏4.3级的地震.
(2)由$M = \lg A - \lg A_{0},$知$M = \lg\frac{A}{A_{0}},$
所以$\frac{A}{A_{0}} = 10^{M},$所以$A = A_{0}\cdot10^{M}.$
当M = 7.6时，地震的最大振幅为$A_{1}=$
$A_{0}\cdot10^{7.6};$
当M = 5时，地震的最大振幅为$A_{2}=A_{0}\cdot$
$10^{5}.$
所以两次地震的最大振幅之比是$\frac{A_{1}}{A_{2}} =$
$\frac{A_{0}\cdot10^{7.6}}{A_{0}\cdot10^{5}} = 10^{7.6 - 5}=10^{2.6}\approx398,$
所以7.6级地震的最大振幅大约是5级
地震最大振幅的398倍.