《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

充分条件与必要条件
思考下列“若 $ p $，则 $ q $”形式的命题，回答问题：
①若 $ x^{2} ＞ 0 $，则 $ x ＞ 0 $；
②若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；
③若 $ x = 1 $，则 $ x^{2} - 6x + 5 = 0 $；
④若 $ x = 0 $，则 $ xy = 0 $.
【思考】
（1）四个命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（2）四个命题中，哪些命题的条件能够推出结论？
（3）如果 $ p \Rightarrow q $，那么 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件？ $ q $ 是 $ p $ 的什么条件？
（4）充分条件与必要条件唯一吗？

答案： 【思考】
(1)提示：①是假命题，因为当x＜0时，x²＞0也成立.②是假命题，三角形的面积相等推不出三角形全等.③是真命题，将x=1代入方程x²-6x+5=0，方程两边相等.④是真命题，当x=0时，xy=0一定成立.
(2)提示：因为③④是真命题，所以由p能推出结论q，即p⇒q.
(3)提示：p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(4)提示：不唯一，如x＞1，x＞6都是x＞0的充分条件；x＞0，x＞1都是x＞6的必要条件.

【例 1】下列各题中，$ p $ 是 $ q $ 的什么条件？（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）
（1）$ p:x = 1 $，$ q:x - 1 = \sqrt{x - 1} $；
（2）$ p:m ＞ 0 $，$ q $：关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 有实根；
（3）$ p:x ＞ 2 $，$ q:x ＞ 3 $；
（4）$ p $：四边形的对角线相等，$ q $：四边形是平行四边形.

答案： 【例1】解：
(1)充分不必要条件.
(2)充分不必要条件.
(3)必要不充分条件.
(4)既不充分也不必要条件.