《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x) = $\begin{cases}400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \\ 80 000, & x ＞ 400\end{cases}$
其中 x(单位：台)是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益 = 总成本 + 利润)

答案：
(1)f(x) = $\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \\ 60000 - 100x, & x ＞ 400\end{cases}$
(2)当每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25000 元.

4.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，则飞机票价格为每人 900 元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

答案： 4.解：
(1)设旅行团人数为 x(x ∈ N*)，飞机票价格为 y 元，则
$y = \begin{cases} 900, & 0 ＜ x ≤ 30, \\ 1 200 - 10x, & 30 ＜ x ≤ 75. \end{cases}$
(2)当旅行团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润.