《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】用一段长 $28m$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 $18m$，要求菜园的面积不小于 $216m^{2}$，靠墙的一边长为 $x m$，其中的不等关系可用不等式(组)如何表示？

答案： 解：因为矩形菜园靠墙的一边长为$x$ $m$，所以另一边长为$\frac{28 - x}{2}$ $m$，即$(14 - \frac{x}{2})$ $m$.根据已知，得$\begin{cases}0 ＜ x\leqslant18,\\x(14 - \frac{x}{2})\geqslant216.\end{cases}$

1. 某工艺厂可用 $A$，$B$ 两种型号的不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆 $3$ 种图形模板，每个图形模板需要 $A$，$B$ 两种型号的不锈钢薄板的张数及该厂两种薄板的库存张数见下表：
若该厂计划利用库存薄板制作矩形、菱形、圆 $3$ 种模板的个数分别为 $x$，$y$，$z(x,y,z\in N^{*})$，则下列不等式正确的为(BC)

A.$5x + 3y + 10z\geqslant 55$
B.$5x + 3y + 10z\leqslant 55$
C.$12x + 6y + 13z\leqslant 125$
D.$12x + 6y + 13z\geqslant 125$

答案： 1.BC

2. 雷电的温度大约是 $28000^{\circ}C$，比太阳表面温度的 $4.5$ 倍还要高. 设太阳表面温度为 $t^{\circ}C$，则 $t$ 应满足的不等式是4.5t ＜ 28000.

答案： 2.$4.5t ＜ 28000$

【例2】若 $a = 2x^{2}+1$，$b = x^{2}+2x$，$c = -x - 3$，试比较 $a$，$b$，$c$ 的大小.

答案： 解：因为$a = 2x^{2}+1$，$b = x^{2}+2x$，$c = -x - 3$，所以$a - b = (2x^{2}+1)-(x^{2}+2x)=x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}\geqslant 0$，$b - c = (x^{2}+2x)-(-x - 3)=x^{2}+3x + 3=(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，所以$a\geqslant b$，$b ＞ c$.综上可得$a\geqslant b ＞ c$.

3. 将本例中条件变为 $a = (x + 5)(x + 7)$，$b = (x + 6)^{2}$，试比较 $a$，$b$ 的大小.

答案： 3.解：因为$a - b = (x + 5)(x + 7) - (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 35 - (x^2 + 12x + 36) = 1 ＜ 0$，所以$a ＜ b$.