《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若一等腰三角形的周长是20，底边长$y$是关于腰长$x$的函数，则它的解析式为()

A.$y = 20 - 2x$
B.$y = 20 - 2x$($0 ＜ x ＜ 10$)
C.$y = 20 - 2x$($5\leq x\leq10$)
D.$y = 20 - 2x$($5 ＜ x ＜ 10$)

答案： 1.D

2. 若函数$f(x) = 2x + 3$，$g(x + 2) = f(x)$，则$g(x)$的解析式是()

A.$g(x) = 2x + 1$
B.$g(x) = 2x - 1$
C.$g(x) = 2x - 3$
D.$g(x) = 2x + 7$

答案： 2.B

3. 函数$y = -\frac{1}{x + 1}$的大致图象是()

答案： 3.B

4. 若$f(x - \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2}$，则函数值$f(3)=$。

答案： 4.11

5. （1）已知$f(x + 1) = x^2 + 2x + 3$，求$f(x)$的解析式；

答案： 5.解:
(1)f(x)=x² + 2.
 

（2）已知$y = f(x)$是一次函数，且有$f(f(x)) = 9x + 8$，求$f(x)$的解析式；

答案：
(2)f(x)=3x + 2或f(x)= - 3x - 4.
 

（3）已知$f(1 + \sqrt{x}) = x - 2\sqrt{x} - 1$，求$f(x)$的解析式。

答案：
(3)f(x)=x² - 4x + 2(x ≥ 1).

6. 若函数$f(2x + 1) = 3x + 2$，且$f(a) = 2$，则$a$的值等于()

A.8
B.1
C.5
D.-1

答案： 6.B

7. 已知函数$f(x)$按下表给出，满足$f(f(x))＞f(3)$的$x$的值为。

答案： 7.3或1

8. 若$f(\frac{1}{x} - 1) = \sqrt{x}$，则$f(x)=$。

答案： 8.$\sqrt{\frac{1}{x + 1}}(x ＞ -1)$

9. 已知对任意$x$，函数$f(x)$满足$3f(x) - f(2 - x) = 4x$，二次函数$g(x)$满足$g(x + 2) - g(x) = 4x$且$g(1) = -4$。
（1）求$f(x)$，$g(x)$的解析式；
（2）若$x\in[m,n]$时，恒有$f(x)\geq g(x)$成立，求$n - m$的最大值。

答案： 9.解:
(1)3f(x) - f(2 - x) = 4x， ①用2 - x代替上式中的x，得3f(2 - x) - f(x) = 8 - 4x， ②联立①②，可得f(x)=x + 1.设g(x)=ax² + bx + c(a ≠ 0)，所以g(x + 2) - g(x)=a(x + 2)² + b(x + 2) + c - ax² - bx - c = 4x，即4ax + 4a + 2b = 4x，所以$\begin{cases}4a = 4\\4a + 2b = 0\end{cases}$解得a = 1,b = -2.又因为g
(1)= -4，所以a + b + c = -4，即1 - 2 + c = -4，解得c = -3，所以g(x)=x² - 2x - 3.
(2)令f(x) ≥ g(x)，即x + 1 ≥ x² - 2x - 3，所以x² - 3x - 4 ≤ 0，解得-1 ≤ x ≤ 4，所以当x ∈ [-1,4]时，f(x) ≥ g(x).若要求x ∈ [m,n]时，恒有f(x) ≥ g(x)成立，则n - m ≤ 4 - (-1)=5，即n - m的最大值是5.

10. 多选题 下列函数中，满足$f(2x) = 2f(x)$的是()

A.$f(x) = \vert x\vert$
B.$f(x) = x - \vert x\vert$
C.$f(x) = x + 1$
D.$f(x) = -x$

答案： 10.ABD