《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

6. 有浓度为 90% 的溶液 100 g，从中倒出 10 g 后再倒入 10 g 水称为一次操作，要使浓度低于 10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$)(C)

A.19
B.20
C.21
D.22

答案： 6.C

7. 某科技股份有限公司为激励创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司 2017 年全年投入的研发资金为 100 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：$\lg 1.1 \approx 0.041$，$\lg 2 \approx 0.301$)(C)

A.2023 年
B.2024 年
C.2025 年
D.2026 年

答案： 7.C

8. 国际视力表值（又叫小数视力值，用 $ V $ 表示，范围是 $[0.1, 1.5]$）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，用 $ L $ 表示，范围是 $[4.0, 5.2]$）的换算解析式为 $ L = 5.0 + \lg V $.
(1) 请根据此解析式将下面视力对照表补充完整.
(2) 甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的小数视力值的 2 倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$）

答案： 8.解：
(1)
$V$1.5 1.0 0.4 0.1
$L$5.2 5.0 4.6 4.0
(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有$4.5 = 5.0 + \lg V_{甲}$，所以$V_{甲} = 10^{-0.5}$，则$V_{乙} = 2 × 10^{-0.5}$.
所以乙的对数视力值$L_{乙} = 5.0 + \lg(2 × 10^{-0.5}) = 5.0 + \lg 2 - 0.5 \approx 5.0 + 0.3010 - 0.5 \approx 4.8$.

9. 多选题 土壤是陆地生态系统的核心组成部分，具有十分重要的作用. 利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量，是改善土壤环境的一个重要措施. 若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量 $ m $(单位：mg/L)与时间 $ t $(单位：h)满足关系式 $ m(t) = \frac{a}{e^{bt}} $，已知处理 1 h 后，重金属含量减少 20%，则($\lg 2 \approx 0.301$)(AD)

A.$ a $ 表示未经处理时土壤中的重金属含量
B.$ b $ 的值为 $ \ln 0.8 $
C.要使土壤中的重金属含量减少一半需处理约 2 h
D.函数 $ m(t) $ 为减函数

答案： 9.AD

10. 多空题 某个细菌经 30 min 数量变为原来的 2 倍，且该种细菌的繁殖规律为 $ y = e^{kt} $，其中 $ k $ 为常数，$ t $ 表示时间(单位：h)，$ y $ 表示繁殖后细菌总个数，则 $ k = $2ln2，经过 5 h，1 个细菌通过繁殖，个数变为1024.

答案： 10.$2\ln 2$ 1024