《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 变式练 将本例第(1)小题改为：已知$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$，求$\sin\alpha$，$\tan\alpha$的值。

答案： 1.解：因为$\cos\alpha=-\frac{3}{5}＜0$，
所以$\alpha$是第二或第三象限角.
若$\alpha$是第二象限角，则
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}$.
若$\alpha$是第三象限角，则
$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{3}$.

2. 同类练 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{3}$，$0\lt\alpha\lt\pi$。
(1)求$\sin\alpha\cos\alpha$的值；
(2)求$\sin\alpha-\cos\alpha$的值。

答案： 2.解：
(1)由$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{3}$，
得$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\frac{1}{9}$，
即$\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{1}{9}$，
所以$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{9}$.
(2)因为$0＜\alpha＜\pi$，$\sin\alpha\cos\alpha＜0$，
所以$\sin\alpha＞0$，$\cos\alpha＜0$，
所以$\sin\alpha-\cos\alpha＞0$.
所以$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{(\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}}=$
$\sqrt{1-2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sqrt{17}}{3}$.

3. 拔高练 已知$\sin\theta=\frac{a - 1}{1 + a}$，$\cos\theta=-\frac{a}{1 + a}$，若$\theta$是第二象限角，则$\tan\theta$的值为(C)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-2$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$-\frac{4}{3}$

答案： 3.C

【例2】已知$\tan\alpha = 2$，求下列式子的值：
（1）$\frac{1 - 5\tan\alpha}{3 + \tan\alpha}$；（2）$\frac{\cos\alpha - 5\sin\alpha}{3\cos\alpha+\sin\alpha}$。

答案： （1）$\frac{1 - 5\tan\alpha}{3 + \tan\alpha}=\frac{1 - 5×2}{3 + 2}=-\frac{9}{5}$。
（2）$\frac{\cos\alpha - 5\sin\alpha}{3\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{1 - 5\tan\alpha}{3 + \tan\alpha}=-\frac{9}{5}$。

4. 已知$\tan\alpha = 2$，求$\frac{2\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}{2\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha}$的值。

答案： 4.解：$\frac{2\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}{2\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha}=\frac{2\tan^{2}\alpha-1}{2\tan^{2}\alpha+3}=$
$\frac{2×4-1}{2×4+3}=\frac{7}{11}$.

5. 已知$\tan\alpha = 2$，求$2\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha$的值。

答案： 5.解：$2\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=$
$\frac{2\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=$
$\frac{2\tan^{2}\alpha-\tan\alpha+1}{\tan^{2}\alpha+1}=$
$\frac{2×4-2+1}{4+1}=\frac{7}{5}$.

6. 已知$\frac{3\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+2\sin\alpha}=\frac{1}{5}$，求$\sin\alpha\cos\alpha$的值。

答案： 6.解：方法1：由$\frac{3\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+2\sin\alpha}=\frac{1}{5}$，得$\cos\alpha+$
$2\sin\alpha=5(3\cos\alpha-\sin\alpha)$，即$\sin\alpha=$
$2\cos\alpha$，
所以$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=$
$\frac{2\cos^{2}\alpha}{4\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2}{5}$.
方法2：由方法1中$\sin\alpha=2\cos\alpha$可得
$\tan\alpha=2$，
所以$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=$
$\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac{2}{5}$.

【例3】（1）化简：$\sin^{2}\alpha\tan\alpha+\frac{\cos^{2}\alpha}{\tan\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha$；
（2）已知$\tan^{2}\alpha = 2\tan^{2}\beta + 1$，求证：$\sin^{2}\beta = 2\sin^{2}\alpha - 1$。
【思路探索】

答案： （1）解：原式$=\sin^{2}\alpha·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\cos^{2}\alpha·\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+$$2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha+2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=$$\frac{(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)^{2}}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$. 
@@（2）证明：因为$\tan^{2}\alpha=2\tan^{2}\beta+1$，所以$\tan^{2}\alpha+1=2\tan^{2}\beta+2$，所以$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+1=2(\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\beta}+1)$，通分可得$\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2}{\cos^{2}\beta}$，即$\cos^{2}\beta=2\cos^{2}\alpha=$$2(1-\sin^{2}\alpha)$，所以$1-\sin^{2}\beta=2(1-\sin^{2}\alpha)$，即$\sin^{2}\beta=$$2\sin^{2}\alpha-1$.
【思路探索】
(1)化“切”为“弦”
(2)化“切”为“弦”，结合平方关系进行证明