《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

任意角的三角函数的概念
情境Ⅰ：我们已经学习过锐角的三角函数，如图所示.

$\sin A=\frac{BC}{AC},\cos A=\frac{AB}{AC},\tan A=\frac{BC}{AB}.$
情境Ⅱ：如图，使锐角$\alpha$的顶点与原点$O$重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，在终边上任取一点$P$，作$PM\perp x$轴于点$M$，设点$P$的坐标为$(x,y)$，$|OP|=r$.
【思考】
（1）能否在平面直角坐标系中表示锐角三角函数？
（2）角$\alpha$的正弦、余弦、正切分别等于什么？
（3）在思考（2）中，当$|OP|=r=1$时，$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值怎样表示？

（4）对于确定的角$\alpha$，$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值是否随点$P$在终边上的位置的改变而改变？

答案： 【思考】
(1)提示：能.
(2)提示：$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}.(3)$提示：$\sin \alpha =y,\cos \alpha =x,\tan \alpha =\frac{y}{x}.(4)$提示：不随点P在终边上的位置的改变而改变.三角函数值是比值，其大小与点P在终边上的位置无关，只与角$\alpha$的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

【例1】在平面直角坐标系中，角$\alpha$的终边与单位圆交于点$A$，点$A$的纵坐标为$\frac{3}{5}$，求$\tan\alpha$.

答案： 【例1】解：由题意可设点A的坐标为$(x,\frac{3}{5}),$所以$x^{2}+(\frac{3}{5})^{2}=1，$解得$x=\frac{4}{5}$或$-\frac{4}{5}.$当$x=\frac{4}{5}$时，角$\alpha$的终边在第一象限，$\tan \alpha =\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4};$当$x=-\frac{4}{5}$时，角$\alpha$的终边在第二象限，$\tan \alpha =\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}.$