《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】比较下列各题中两值的大小.
（1）$ (\frac{5}{6})^{-0.24} $，$ (\frac{5}{6})^{-\frac{1}{4}} $； （2）$ 0.8^{-0.1} $，$ 1.25^{0.2} $；
（3）$ 0.3^{-0.3} $，$ 0.5^{-0.3} $； （4）$ 1.7^{0.3} $，$ 0.9^{3.1} $.

答案： （1）$(\frac{5}{6})^{-0.24}＜(\frac{5}{6})^{-\frac{1}{4}}$；（2）$0.8^{-0.1}＜1.25^{0.2}$；（3）$0.3^{-0.3}＞0.5^{-0.3}$；（4）$1.7^{0.3}＞0.9^{3.1}$.

1. 若 $ a = 2^{\frac{4}{3}} $，$ b = 4^{\frac{2}{5}} $，$ c = 25^{\frac{1}{3}} $，则 (A)

A.$ b ＜ a ＜ c $
B.$ a ＜ b ＜ c $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ c ＜ a ＜ b $

答案： 1. A

2. 多选题 若 $ a = 2^{0.6} $，$ b = 4^{0.4} $，$ c = 3^{0.8} $，则 (ACD)

A.$ a ＜ b $
B.$ b ＞ c $
C.$ ab ＜ c^2 $
D.$ b^2 ＜ ac $

答案： 2. ACD

【例 2】(1)不等式 $ 3^{x - 2} ＞ 1 $ 的解集为(2, +∞).
(2)已知 $ a^{x^2 - 2x} ＞ a^{x + 4} $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)，求 $ x $ 的取值范围.
【思路探索】
（1）在第（1）小题中，不等式 $ 3^{x - 2} ＞ 1 $ 的两边底数不同，应如何处理？
（2）在第（2）小题中，不等式 $ a^{x^2 - 2x} ＞ a^{x + 4} $ 两边底数的取值范围不确定，应如何处理？

答案： （1）$(2,+\infty)$； 
@@（2）当$a＞1$时，$x$的取值范围为$\{x\mid x＞4$，或$x＜ - 1\}$；当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围为$\{x\mid - 1＜x＜4\}$.
(1)化为同底
(2)分a>1或0<a<1两种情况

3. 变式练 在本例第(2)小题中，若将不等式变为 $ (a^2 + a + 2)^x ＞ (a^2 + a + 2)^{1 - x} $，则 $ x $ 的取值范围是{x|x＞1/2}.

答案： 3. $\{x\mid x＞\frac{1}{2}\}$

4. 同类练 已知 $ a^{x + 1} ＞ (\frac{1}{a})^{5 - 3x} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $），求 $ x $ 的取值范围.

答案： 4. 当$a＞1$时，$x$的取值范围为$(-\infty,3)$；当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围为$(3,+\infty)$.