《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

2. 函数 $ f(x) = \lg x $ 与 $ g(x) = 0.3x - 1 $ 的图象如图所示。

（1）试根据函数的增长差异指出 $ C_1, C_2 $ 分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对 $ f(x), g(x) $ 的大小进行比较）。

答案： 2. 解：
(1) $C_1$ 对应的函数为 $g(x) = 0.3x - 1$，$C_2$ 对应的函数为 $f(x) = \lg x$。
(2) 当 $0 ＜ x ＜ x_1$ 时，$g(x) ＞ f(x)$；当 $x_1 ＜ x ＜ x_2$ 时，$f(x) ＞ g(x)$；当 $x ＞ x_2$ 时，$g(x) ＞ f(x)$；当 $x = x_1$ 或 $x = x_2$ 时，$f(x) = g(x)$。

【例 3】在科学实验中，实验员往装有水的透明水桶中加入某种染料，以测试染料的扩散效果。观察结果显示，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1 s 后染料扩散的体积是 1 cm³，2 s 后染料扩散的体积是 3 cm³，染料扩散的体积 $ y $（单位：cm³）与时间 $ x $（单位：s）的关系有两种函数模型可供选择：① $ y = m \cdot 3^x $，② $ y = m\log_3 x + b $，其中 $ m, b $ 均为常数。
（1）试判断选择哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）若染料扩散的体积达到 5 cm³，至少需要多少秒？

答案： 解：
(1) 因为函数 $y = m \cdot 3^x$ 中，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，且增大的速度越来越快，函数 $y = m\log_3 x + b$ 中，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，且增大的速度越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选择第二个模型更合适，即 $y = m\log_3 x + b$。
由题意可得 $\begin{cases} m\log_3 1 + b = 1, \\ m\log_3 2 + b = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} b = 1, \\ m = 2\log_2 3, \end{cases}$
所以该模型的函数解析式为 $y = 2\log_2 3 \cdot \log_3 x + 1$，即 $y = 2\log_2 x + 1$。
(2) 由
(1) 知 $y = 2\log_2 x + 1$，
要使 $y \geq 5$，则需 $2\log_2 x + 1 \geq 5$，即 $\log_2 x \geq 2$，所以 $x \geq 4$，
所以至少需要 $4$ s。