《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

6. 用二分法求函数 $f(x) = x^{2} - 5$ 的正零点的近似值（精确度为 $0.1$）。

答案： 6.解:因为$f(2.2)= - 0.16＜0$，$f(2.4)=0.76＞0$，
　所以$f(2.2)f(2.4)＜0$，说明这个函数在区间$(2.2,2.4)$上有零点$x_0$.
　取区间$(2.2,2.4)$的中点$x_1 = 2.3$，
　则$f(2.3)=0.29$.
　因为$f(2.2)f(2.3)＜0$，
　所以$x_0\in(2.2,2.3)$.
　再取区间$(2.2,2.3)$的中点$x_2 = 2.25$，
　$f(2.25)=0.0625$.
　因为$f(2.2)f(2.25)＜0$，所以$x_0\in(2.2,2.25)$.
　因为$\vert2.25 - 2.2\vert = 0.05＜0.1$，
　所以函数$f(x)=x^2 - 5$的正零点的近似值可取为$2.25$.

7. 设 $f(x) = e^{x} + x - 4$，现在用二分法估计 $f(x) = 0$ 在区间 $(0.9,1.3)$ 上的近似解。先利用计算器计算出 $f(0.9) ＜ 0$，$f(1.3) ＞ 0$，接着又计算出 $f(1.1) ＞ 0$，下一步计算出 $f(c) ＜ 0$，则方程的解所在的区间是(B)

A.$(0.9,1)$
B.$(1,1.1)$
C.$(1.1,1.2)$
D.$(1.2,1.3)$

答案： 7.B

8. 已知图象连续不断的函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0,0.1)$ 上有唯一零点，若用二分法求这个零点的近似值(精确度为 $0.01$)，则应将区间 $(0,0.1)$ 等分的次数至少为(B)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 8.B

9. 在 $26$ 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，至少称4次就一定可以发现这枚假币。

答案： 9.4

10. 已知函数 $f(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$，$a + b + c = 0$，$f(0) ＞ 0$，$f(1) ＞ 0$，证明 $a ＞ 0$，并利用二分法证明关于 $x$ 的方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0,1)$ 上有两个实根。

答案： 10.证明:因为$f(1)＞0$，所以$3a + 2b + c＞0$，
　即$3(a + b + c)-b - 2c＞0$.
　因为$a + b + c = 0$，所以$a = - b - c$.
　因为$- b - 2c＞0$，
　所以$- b - c＞c$，即$a＞c$.
　因为$f(0)＞0$，所以$c＞0$，所以$a＞0$.
　取区间$(0,1)$的中点$\frac{1}{2}$，
　则$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}a + b + c=\frac{3}{4}a + (- a)=-\frac{1}{4}a＜0$.
　因为$f(0)＞0$，$f(1)＞0$，
　所以函数$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上和区间$(\frac{1}{2},1)$上各有一个零点.
　又因为$f(x)$为二次函数，最多有两个零点，
　所以方程$f(x)=0$在区间$(0,1)$上有两个实根.

11. 多选题 下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(CD)

A.$y = \dfrac{2}{x} + 1$
B.$y = \begin{cases} -x + 1, x \geqslant 0, \\ x + 1, x ＜ 0 \end{cases}$
C.$y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 4x + 8$
D.$y = |x|$

答案： 11.CD

12. 多空题 用二分法研究函数 $f(x) = x^{3} + 3x - 1$ 的零点时，第一次经计算 $f(0) ＜ 0$，$f(0.5) ＞ 0$，可得其中一个零点 $x_{0} \in$(0,0.5)，第二次应计算f(0.25)(写成 $f(a)$ 的形式)。

答案： 12.$(0,0.5)$ $f(0.25)$

13. 多空题 某同学在借助计算器求方程 $\lg x = 2 - x$ 的近似解(精确度为 $0.1$)时，设 $f(x) = \lg x + x - 2$，算得 $f(1) ＜ 0$，$f(2) ＞ 0$。在以下过程中，他用二分法又取了 $4$ 个 $x$ 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 $x \approx 1.8$。那么他再取的 $x$ 的 $4$ 个值依次是1.5，1.75，1.875，1.8125。

答案： 13.1.5　1.75　1.875　1.8125