《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例2】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离$s$（单位：$m$）与汽车的车速$v$（单位：$km/h$）满足下列关系：$s=\frac{nv}{100}+\frac{v^{2}}{400}$（$n$为常数，且$n\in\mathbf{N}$），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中$\begin{cases}6＜s_{1}＜8,\\14＜s_{2}＜17.\end{cases}$
(1)求$n$的值；
(2)要使刹车距离不超过$12.6\ m$，则行驶的最大速度是多少？

答案： 【解题模型示范】
读 题中给出了刹车距离的概念和刹车距离与汽车速度的关系式，并根据两次刹车试验数据在坐标系中描点。
想
(1)利用代入法求出函数解析式中的参数。
(2)列出不等式，并求解不等式。
算
(1)由题意，得$\begin{cases}6＜\frac{40n}{100}+\frac{1600}{400}＜8,\\14＜\frac{70n}{100}+\frac{4900}{400}＜17,\end{cases}$
解得$\begin{cases}5＜n＜10,\frac{5}{2}＜n＜\frac{95}{14}.\end{cases}$
因为$n\in\mathbf{N}$，所以$n = 6$。
(2)因为刹车距离不超过$12.6\ m$，即$s\leqslant12.6$，所以$\frac{6v}{100}+\frac{v^{2}}{400}\leqslant12.6$，因此$v^{2}+24v - 5040\leqslant0$，解得$-84\leqslant v\leqslant60$。
因为$v\geqslant0$，所以$0\leqslant v\leqslant60$，即行驶的最大速度为$60\ km/h$。
思 用不等式知识解决应用题的四个步骤
(1)审：审清题意，把握问题中的关键量，找准不等关系。
(2)设：设变量，用不等式表示不等关系。
(3)求：求解不等式。
(4)答：回答实际问题。

4. 某地每年销售木材约$20$万立方米，每立方米的价格为$2400$元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的$t\%$征收木材税，这样每年的木材销售量减少$\frac{5}{2}t$万立方米。为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于$900$万元，则$t$的取值范围是(B)

A.$\{t\mid1\leqslant t\leqslant3\}$
B.$\{t\mid3\leqslant t\leqslant5\}$
C.$\{t\mid2\leqslant t\leqslant4\}$
D.$\{t\mid4\leqslant t\leqslant6\}$

答案： 4.B