《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 下列四个区间能表示数集$A = \{ x | 0 \leq x ＜ 5$，或$x ＞ 10 \}$的是(B)

A.$(0,5) \cup (10, +\infty)$
B.$[0,5) \cup (10, +\infty)$
C.$(0,5] \cup [10, +\infty)$
D.$[0,5] \cup (10, +\infty)$

答案： 1.B

2. $f(x) = \sqrt{1 + x} + \frac{x}{1 - x}$的定义域是(D)

A.$[-1, +\infty)$
B.$(-\infty, -1]$
C.$\mathbf{R}$
D.$[-1,1) \cup (1, +\infty)$

答案： 2.D

3. 若$[a,3a - 1]$为一确定区间，则$a$的取值范围是(\frac{1}{2},+∞)。

答案： $3.(\frac{1}{2},+∞)$

4. 函数$y = \sqrt{3 - 2x - x^2}$的定义域是[−3,1]。

答案： 4.[−3,1]

5. 已知$f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$。
（1）求$f(x)$的定义域；
（2）若$f(a) = 2$，求$a$的值。

答案： 5.（1）由题意，知$1 - x^2≠0，$解得x≠±1，所以 f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).
$（2）±\frac{\sqrt{3}}{3}.$

6. 下列四个方程中表示$y$是$x$的函数的是(D)
① $x - 2y = 6$；② $x^2 + y = 1$；③ $x + y^2 = 1$；④ $x = \sqrt{y}$。

A.①②
B.①④
C.③④
D.①②④

答案： 6.D

7. 若$A = \{ x | y = \sqrt{x + 1} \}$，$B = \{ y | y = x^2 + 1 \}$，则$A \cap B =$[1,+∞)。

答案： 7.[1,+∞)

8. 已知函数$f(x) = x^2 + 1$，$x \in \mathbf{R}$。
（1）分别计算$f(1) - f(-1)$，$f(2) - f(-2)$，$f(3) - f(-3)$的值；
（2）由（1）你发现了什么结论？并加以证明。

答案： $8.（1）f(1) - f(−1)=(1^2 + 1) - [(−1)^2 + 1]=2 - 2 = 0;f(2) - f(−2)=(2^2 + 1) - [(−2)^2 + 1]=5 - 5 = 0;f(3) - f(−3)=(3^2 + 1) - [(−3)^2 + 1]=10 - 10 = 0.$
（2）由
(1)可发现结论：对任意x∈R，有 f(x) - f(−x)=0.证明：因为$ f(−x)=(−x)^2 + 1=x^2 + 1=f(x)，$所以对任意x∈R，总有 f(x) - f(−x)=0.

9. 多选题 已知集合$A = \mathbf{R}$，$B = [0, +\infty)$，$x$，$y$满足方程$x^2 - 2y = 0$，下列对应关系$f$为函数的是(AB)

A.$f:A \to B$，$y = f(x)$
B.$f:B \to A$，$y = f(x)$
C.$f:A \to B$，$x = f(y)$
D.$f:B \to A$，$x = f(y)$

答案： 9.AB