《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 3】
(1)幂函数 $ y = x^{-1} $ 的图象与直线 $ y = x $，$ y = 1 $，$ x = 1 $ 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} $ 的图象经过的“卦限”是 (D)

A.④⑦
B.④⑧
C.③⑧
D.①⑤

答案：
(1)D
 

(2)若点 $ A(\sqrt{2}, 2) $ 在幂函数 $ f(x) $ 的图象上，点 $ B(-2, \frac{1}{4}) $ 在幂函数 $ g(x) $ 的图象上。
① 求 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式。
② 求当 $ x $ 为何值时：(i)$ f(x) ＞ g(x) $；(ii)$ f(x) = g(x) $；(iii)$ f(x) ＜ g(x) $。

答案：

(2)①设$f(x)=x^{\alpha}$,
因为点$A(\sqrt{2},2)$在幂函数$f(x)$的图象上，所以$(\sqrt{2})^{\alpha}=2$,所以$\alpha = 2$,即$f(x)=x^{2}$.
设$g(x)=x^{b}$,
因为点$B(-2,\frac{1}{4})$在幂函数$g(x)$的图象上,所以$(-2)^{b}=\frac{1}{4}$,所以$b = -2$,
即$g(x)=x^{-2}$.
②令$f(x)=g(x)$,解得$x = \pm 1$.
在同一平面直角坐标系下作出函数$f(x)$和$g(x)$的图象,如图.

由图象可知,$f(x),g(x)$的图象均过点$(1,1)$和$(-1,1)$.
由图象可知，
(i)当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时,$f(x) ＞ g(x)$;
(ii)当$x = 1$或$x = -1$时,$f(x)=g(x)$;
(iii)当$-1 ＜ x ＜ 1$,且$x \neq 0$时,$f(x) ＜ g(x)$.

4. 变式练 若把本例第(1)小题中的函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} $ 改为 $ y = x^{2} $，求函数图象所过的“卦限”。

答案： 4.幂函数$y = x^{2}$的图象经过“卦限”②⑥.

5. 同类练 幂函数 $ y = x^{m} $ 与 $ y = x^{n} $ 在第一象限内的图象如图所示，则 (B)

A.$ -1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1 $
B.$ n ＜ -1, 0 ＜ m ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ n ＜ 0, m ＞ 1 $
D.$ n ＜ -1, m ＞ 1 $

答案： 5.B

6. 拔高练 已知幂函数 $ y = x^{3m - 9} (m \in \mathbf{N}^{*}) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，且在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，求满足 $ (a + 3)^{-\frac{m}{5}} ＜ (5 - 2a)^{-\frac{m}{5}} $ 的 $ a $ 的取值范围。

答案： 6.$\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{5}{2}$或$a ＜ -3$.