《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、正弦函数、余弦函数的周期性
情境：观察下面的正弦曲线和余弦曲线。
【思考】
（1）观察上图，正弦曲线、余弦曲线有什么特点？
（2）上述现象的理论依据是什么？
（3）当自变量 $ x $ 的值增加 $ 2\pi $ 的整数倍时，函数值重复出现，怎样描述正弦函数、余弦函数图象具有的这种性质？
（4）正弦函数和余弦函数都是周期函数，请你分别写出它们的周期和最小正周期。

答案： [思考]
(1)提示:它们的图象均每隔2π个单位长度重复出现.
(2)提示:上述现象的理论依据是诱导公式一,即sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx,其中k∈Z.
(3)提示:数学上，用周期性这个概念来刻画这种“周而复始”的变化规律.
(4)提示:它们的周期都是2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期都是2π.

  二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
情境：观察前面正弦函数、余弦函数的图象。
【思考】
（1）正弦函数 $ y = \sin x (x \in \mathbf{R}) $ 的图象的对称性如何？由此说明正弦函数是奇函数还是偶函数？
（2）余弦函数 $ y = \cos x (x \in \mathbf{R}) $ 的图象的对称性如何？由此说明余弦函数是奇函数还是偶函数？

答案： [思考]
(1)提示:正弦函数的图象关于原点中心对称，说明正弦函数是奇函数.
(2)提示:余弦函数的图象关于y轴对称，说明余弦函数是偶函数.