《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、函数 $ y = \log_{a}x $ 与 $ y = \log_{\frac{1}{a}}x $ 的图象间的关系
情境：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数 $ y = \log_{2}x $，$ y = \log_{3}x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $，$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $ 的图象。

【思考】
（1）分别观察函数 $ y = \log_{2}x $ 与 $ y = \log_{\frac{1}{2}}x $ 及 $ y = \log_{3}x $ 与 $ y = \log_{\frac{1}{3}}x $ 的图象，你能得到什么结论？
（2）如何从数的角度说明函数 $ y = \log_{a}x $ 与 $ y = \log_{\frac{1}{a}}x $ 的图象关于 $ x $ 轴对称？

答案： （1）提示：函数$y=\log_{a}x$与$y=\log_{\frac{1}{a}}x$的图象关于$x$轴对称，即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于$x$轴对称.
（2）提示：因为点$(x,y)$与点$(x,-y)$关于$x$轴对称，且$y=\log_{\frac{1}{a}}x=-\log_{a}x$，所以$y = \log_{a}x$图象上任一点$P(x,y)$关于$x$轴的对称点$P_{1}(x,-y)$都在$y=\log_{\frac{1}{a}}x$的图象上，反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于$x$轴对称.

  二、对数函数的图象和性质
【思考】
（1）对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）有哪些性质？
（2）在第一象限内观察函数 $ y = \log_{2}x $，$ y = \log_{3}x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $，$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $ 的图象，你能发现底数的大小与图象左右位置的关系吗？
（3）你能解释为什么对数函数 $ y = \log_{a}x $ 的图象恒过定点 $ (1, 0) $ 吗？由此类推函数 $ y = \log_{a}(x - 1) $ 的图象恒过哪个定点？

答案： （1）提示：①定义域是$(0,+\infty)$.
②值域是$\mathbf{R}$.
③过定点$(1,0)$，即当$x = 1$时，$y = 0$.
④当$0\lt a\lt1$时，是减函数；当$a\gt1$时，是增函数.
（2）提示：底数越大，图象越靠右边.
（3）提示：根据$\log_{a}1 = 0$，知无论$a(a\gt0$，且$a\neq1)$取何值，对数函数$y=\log_{a}x$的图象恒过定点$(1,0)$.令$x - 1 = 1$，则$x = 2$，所以函数$y=\log_{a}(x - 1)$的图象恒过定点$(2,0)$.

  三、反函数
情境：由 $ y = 3x $（$ 1 ＜ x ＜ 3 $）得到 $ x = \frac{1}{3}y $（$ 3 ＜ y ＜ 9 $）；
由 $ y = x^{2} $（$ x \geq 0 $）得到 $ x = \sqrt{y} $（$ y \geq 0 $）；
由 $ y = 2^{x} $ 得到 $ x = \log_{2}y $（$ y ＞ 0 $）。
【思考】
（1）情境中 $ x = \frac{1}{3}y $（$ 3 ＜ y ＜ 9 $），$ x $ 是 $ y $ 的函数吗？若 $ x $ 是 $ y $ 的函数，则其定义域和值域与函数 $ y = 3x $（$ 1 ＜ x ＜ 3 $）有怎样的关系？
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域有什么关系？
（3）若指数函数 $ y = a^{x} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象过点 $ (1, 3) $，则对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象也过点 $ (1, 3) $ 吗？

答案： （1）提示：$x$是$y$的函数，其定义域和值域分别是函数$y = 3x(1\lt x\lt3)$的值域和定义域.
（2）提示：它们的定义域与值域正好互换.
（3）提示：根据反函数的定义，知对数函数$y=\log_{a}x(a\gt0$，且$a\neq1)$的图象过点$(3,1)$，而不过点$(1,3)$.