《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

4. 已知 $a\in R$，$p = a^{2}-a + 1$，$q=\frac{1}{a^{2}+a + 1}$，试比较 $p$ 与 $q$ 的大小.

答案： 4.解：$p - q = a^2 - a + 1 - \frac{1}{a^2 + a + 1} = \frac{a^2(a^2 + 1)}{a^2 + a + 1} - \frac{\frac{1}{a^2(a^2 + 1) + \frac{3}{4}}}{(a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$因为$(a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\geqslant\frac{3}{4} ＞ 0$，$a^2 + 1 ＞ 0$，$a^2\geqslant0$，所以$p - q\geqslant0$，即$p\geqslant q$，当且仅当$a = 0$时，等号成立.

5. 已知实数 $x$，$y$，$z$ 满足 $y + z = 3x^{2}-4x + 6$，$y - z = x^{2}-4x + 4$. 试确定 $x$，$y$，$z$ 的大小关系.

答案： 5.解：因为$y - z = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\geqslant 0$，所以$y\geqslant z$.因为$y + z = 3x^2 - 4x + 6$，$y - z = x^2 - 4x + 4$，所以$z - x = \frac{(y + z) - (y - z)}{2} - x = 1 + x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ＞ 0$，所以$z ＞ x$.综上可得，$y\geqslant z ＞ x$.

1. 若 $M = x^{2}$，$N = -x - 1$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是(A)

A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.与 $x$ 有关

答案： 1.A

2. 若 $M = 2a^{2}-3a + 5$，$N = a^{2}-a + 4$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为(A)

A.$M\geqslant N$
B.$M ＞ N$
C.$M ＜ N$
D.$M\leqslant N$

答案： 2.A

3. 若 $P=\sqrt{a}+\sqrt{a + 7}$，$Q=\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 4}(a\geqslant 0)$，则 $P$，$Q$ 的大小关系是(A)

A.$P ＜ Q$
B.$P = Q$
C.$P ＞ Q$
D.$P$，$Q$ 的大小关系由 $a$ 的取值确定

答案： 3.A

4. 已知实数 $a$，$b$ 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是(A)


A.$a + b ＞ 0$
B.$a - b ＞ 0$
C.$ab ＞ 0$
D.$\frac{a}{b}＞0$

答案： 4.A

5. 一方有难，八方支援，这是中华民族的传统美德. 现至少有 $1500t$ 粮食和 $840t$ 药品必须在一天之内全部运送到某灾区，可以用轮船和飞机两种运输工具. 已知每天每艘轮船可同时运送粮食 $200t$ 和药品 $70t$，每架飞机每天可同时运送粮食 $100t$ 和药品 $80t$，设安排 $x$ 艘轮船和 $y$ 架飞机，则轮船和飞机的数量应满足的不等关系为$\begin{cases}200x + 100y\geqslant1500,\\70x + 80y\geqslant840,\\x,y\in N\end{cases}$.

答案： 5.$\begin{cases}200x + 100y\geqslant1500,\\70x + 80y\geqslant840,\\x,y\in N\end{cases}$

6. 下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格. 某球迷赛前准备用 $1200$ 元预订 $15$ 张下表中球类比赛的门票.

在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛的门票数.

答案： 6.解：可以预订的足球比赛的门票数为$5$.