《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  一、函数 $ y = a^x $ 与 $ y = (\frac{1}{a})^x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象的对称性
情境：观察在同一平面直角坐标系中函数 $ y = 2^x $，$ y = 3^x $，$ y = (\frac{1}{2})^x $，$ y = (\frac{1}{3})^x $ 的图象.

【思考】
（1）比较函数 $ y = 2^x $ 与 $ y = (\frac{1}{2})^x $ 的图象及 $ y = 3^x $ 与 $ y = (\frac{1}{3})^x $ 的图象，它们有什么关系？由此，你能得到什么结论？
（2）能否利用 $ y = 2^x $ 的图象作出 $ y = (\frac{1}{2})^x $ 的图象？
（3）在第一象限内，指数函数底数的大小与其图象的高低有怎样的关系？

答案： （1）提示:函数$y=2^{x}$与$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象关于$y$轴对称，$y=3^{x}$与$y=(\frac{1}{3})^{x}$的图象关于$y$轴对称.由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于$y$轴对称.
（2）提示:根据两个函数的图象关于$y$轴对称，可利用$y=2^{x}$的图象作出$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象.
（3）提示:横坐标一定，底数越大，图象越高.

  二、指数函数的图象与性质
【思考】
（1）指数函数 $ y = a^x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）有哪些性质？
（2）指数函数的图象能与 $ x $ 轴相交吗？

答案： （1）提示:①定义域是$\mathbf{R}$.
②值域是$(0,+\infty)$.
③过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$.
④当$0＜a＜1$时，在$\mathbf{R}$上是减函数；当$a＞1$时，在$\mathbf{R}$上是增函数.
（2）提示:指数函数的图象与$x$轴无限靠近，但不相交，一定在$x$轴的上方.