《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

偶函数和奇函数
情境：①$f(x)=x^{2}-1$，②$f(x)=-\frac{1}{x}$，③$f(x)=2x$的图象分别如图所示。
【思考】
（1）各个图象有怎样的对称性？
（2）对于以上三个函数，分别计算$f(-x)$，观察对定义域内的每一个$x$，$f(-x)$与$f(x)$有怎样的关系？它们的奇偶性如何？
（3）一般地，若偶函数$y = f(x)$的图象关于$y$轴对称，则$f(x)$与$f(-x)$有什么关系？反之成立吗？

（4）一般地，若奇函数$y = f(x)$的图象关于原点对称，则$f(x)$与$f(-x)$有什么关系？反之成立吗？

答案： [思考]
(1)提示:题图①关于y轴对称;题图②③关于原点对称.
(2)提示:①$f(-x)=x^{2}-1$,$f(-x)=f(x)$;
②$f(-x)=\frac {1}{x}$,$f(-x)=-f(x)$;
③$f(-x)=-2x$,$f(-x)=-f(x)$.
①是偶函数，②③是奇函数.
(3)提示:若函数$y=f(x)$的图象关于$y$轴对称,则$f(x)=f(-x)$.反之,若$f(x)=f(-x)$,则函数$y=f(x)$的图象关于$y$轴对称.
(4)提示:若函数$y=f(x)$的图象关于原点对称,则$f(-x)=-f(x)$.反之,若$f(-x)=-f(x)$,则函数$y=f(x)$的图象关于原点对称.