《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）每一个无限不循环小数都是无理数；
（2）与同一直线所成的角相等的两条直线平行；
（3）有些实数的绝对值是正数。

答案： 1.解：
(1)全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，命题的否定是“存在一个无限不循环小数不是无理数”，是假命题.
(2)原命题是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一直线所成的角相等的直线平行”，命题的否定是“存在两条与同一直线所成的角相等的直线不平行”，是真命题.
(3)存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”，是假命题.

【例2】已知命题“对于任意x∈R，f(x)=x²+ax+1的值都不小于0”是假命题，求实数a的取值范围。

答案： 【例2】解：全称量词命题“对于任意x∈R，f(x)=x²+ax+1的值都不小于0”的否定形式为“存在x∈R,f(x)=x²+ax+1的值小于0”.
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题.
由于函数f(x)=x²+ax+1的图象是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知方程x²+ax+1=0的Δ=a²−4＞0，解得a＜−2或a＞2.
所以实数a的取值范围是a＜−2或a＞2.

2. 变式练 若将本例中的“假命题”改为“真命题”，则实数a的取值范围是________。

答案： 2.−2⩽a⩽2

3. 同类练 若命题“对于x＞0，f(x)=x²+ax+1的值都不小于0”是假命题，则实数a的取值范围是________。

答案： 3.a＜−2

4. 拔高练 若命题“对任意实数m，关于x的方程x²+x+m=0必有实数根”为假命题，则实数m的取值范围是m＞1/4。

答案： 4.m＞1/4

1. 命题“每一个三角形的三个顶点共圆”的否定是(A)

A.存在一个三角形，它的三个顶点不共圆
B.存在一个三角形，它的三个顶点共圆
C.所有三角形的三个顶点共圆
D.所有三角形的三个顶点都不共圆

答案： 1.A

2. 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是(B)

A.∃x∈R，ax+b≤0
B.∃x∈R，ax+b＞0
C.∀x∈R，ax+b≤0
D.∀x∈R，ax+b＞0

答案： 2.B