《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

6. 已知函数 $ f(x) = \frac{6}{x} - \log_{2}x $，在下列区间中，包含 $ f(x) $ 零点的区间是(C)

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (2, 4) $
D.$ (4, +\infty) $

答案： 6.C

7. 若函数 $ f(x) = 2^{x} - \frac{2}{x} - a $ 的一个零点在区间 $ (1, 2) $ 上，则实数 $ a $ 的取值范围是(C)

A.$ (1, 3) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (0, 3) $
D.$ (0, 2) $

答案： 7.C

若函数$ f(x) = x^{2} - 2ax + 2 $在区间$ [0, 4] $上至少有一个零点，则实数$ a $的取值范围为　　$[\sqrt{2}, +\infty)$　　。　　

答案： $[\sqrt{2}, +\infty)$ 解析:因为函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2$ 在区间 $[0,4]$ 上至少有一个零点，且 $f(0) = 2 ＞ 0$，
所以$\begin{cases} 0 ＜ \frac{2a}{2} \leq 4, \\ \Delta = 4a^2 - 8 \geq 0 \end{cases}$或$\begin{cases} \frac{2a}{2} ＞ 4, \\ f(4) \leq 0, \end{cases}$
解得$\sqrt{2} \leq a \leq 4$ 或 $a ＞ 4$，即 $a \geq \sqrt{2}$.
所以实数 $a$ 的取值范围为$[\sqrt{2}, +\infty)$.

 若函数 $ f(x) = x^{2} - 2ax + 4 $ 的一个零点在区间 $ (0, 1) $ 上，另一个零点在区间 $ (6, 8) $ 上，则 $ a $ 的取值范围为(\frac{10}{3}, \frac{17}{4})。

答案： $(\frac{10}{3}, \frac{17}{4})$ 解析:由函数 $f(x)$ 零点的分布并结合二次函数的图象(图略)，列出不等式组$\begin{cases} f(0) = 4 ＞ 0, \\ f(1) = 1 - 2a + 4 ＜ 0, \\ f(6) = 36 - 12a + 4 ＜ 0, \\ f(8) = 64 - 16a + 4 ＞ 0, \end{cases}$
所以$\frac{10}{3} ＜ a ＜ \frac{17}{4}$.

1. 函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ 的零点的个数为(A)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.A

2. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} 2^{x} - 1, x \leq 1, \\ 1 + \log_{2}x, x ＞ 1, \end{cases} $ 则函数 $ f(x) $ 的零点为(D)

A.$ \frac{1}{2}, 0 $
B.$ -2, 0 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$0$

答案： 2.D