《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

8. 函数 $ f(x) = 2^{x - 3} $($ 1 ＜ x \leq 5 $)的值域是 (C)

A.$ (0, +\infty) $
B.$ (0, 4) $
C.$ (\frac{1}{4}, 4] $
D.$ (\frac{1}{2}, 8] $

答案： 8. C

9. 已知定义域为 $ \mathbf{R} $ 的函数 $ f(x) = \frac{-2^x + b}{2^{x + 1} + 2} $ 是奇函数.
（1）求 $ b $ 的值；
（2）判断函数 $ f(x) $ 的单调性；
（3）若对任意的 $ t \in \mathbf{R} $，不等式 $ f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) ＜ 0 $ 恒成立，求 $ k $ 的取值范围.

答案： 9. （1）$b = 1$；（2）$f(x)$在$\mathbf{R}$上为减函数；（3）$k$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})$.

函数 $ y = (\frac{1}{4})^x + (\frac{1}{2})^x + 1 $ 的值域为(1, +∞).
【能力发展】
1. 方法技巧：换元法求函数值域的策略
(1)函数解析式的特征：解析式中含有两个具有平方关系的量.
(2)解决问题的方法：令其中一个量为 $ t $，则另一个量为 $ t^2 $，从而把问题转化为求二次函数的值域问题.
2. 易错提醒
解答此类问题时，易忽视 $ t $ 的取值范围，误以为 $ t \in \mathbf{R} $，实际在本例中 $ t ＞ 0 $.
3. 关键能力(运算求解)
利用换元法将特殊形式的函数转化为二次函数的过程中，涉及转化和二次函数的性质，在此过程中提高运算求解能力.
【迁移应用】
已知 $ 9^x - 10 × 3^x + 9 \leq 0 $，求函数 $ y = (\frac{1}{4})^{x - 1} - 4 × (\frac{1}{2})^x + 2 $ 的最大值与最小值.

答案： 函数 $ y = (\frac{1}{4})^x + (\frac{1}{2})^x + 1 $ 的值域为$(1,+\infty)$.
【迁移应用】解:由$9^{x}-10×3^{x}+9\leqslant0$，得$(3^{x}-1)(3^{x}-9)\leqslant0$，即$1\leqslant3^{x}\leqslant9$，所以$0\leqslant x\leqslant2$.
令$t = (\frac{1}{2})^{x}$，则$\frac{1}{4}\leqslant t\leqslant1$，则原函数可化为$y = 4t^{2}-4t + 2 = 4(t-\frac{1}{2})^{2}+1$.
所以当$t=\frac{1}{2}$，即$(\frac{1}{2})^{x}=\frac{1}{2}$，$x = 1$时，$y_{\min}=1$；当$t = 1$，即$(\frac{1}{2})^{x}=1$，$x = 0$时，$y_{\max}=2$.