《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

9. 多选题 已知函数 $ f(x) = \log_{2}(6 - ax) $ 在区间 $ (0, 2) $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值可以是(BCD)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 9.BCD

10. 函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} + 2x + 3) $ 的值域是$(-\infty,-1]$ 。

答案： 10.$(-\infty,-1]$

1. 如图，若 $ C_{1} $，$ C_{2} $ 分别为函数 $ y = \log_{a}x $ 和 $ y = \log_{b}x $ 的图象，则(B)
A.$ 0 ＜ a ＜ b ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ b ＞ 1 $
D.$ b ＞ a ＞ 1 $

答案：  B

2. 若 $ a = \log_{4}6 $，$ b = \log_{4}0.2 $，$ c = \log_{2}3 $，则这三个数的大小关系是(A)
A.$ c ＞ a ＞ b $
B.$ a ＞ c ＞ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案： A

3. 下列关于函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 4) $ 的单调性叙述正确的是(D)
A.在 $ \mathbf{R} $ 上为增函数
B.在 $ \mathbf{R} $ 上为减函数
C.在区间 $ (4, +\infty) $ 上为增函数
D.在区间 $ (4, +\infty) $ 上为减函数

答案： D

4. 函数 $ f(x) = 4 + \log_{a}(x - 1) $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象恒过定点 $ A $，则点 $ A $ 的坐标是$(2,4)$ 。

答案： 4.$(2,4)$

5. 函数 $ f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2)} $ 的定义域是$(\frac{2}{3},1]$ 。

答案： 5.$(\frac{2}{3},1]$

6. 已知函数 $ f(x) = \log_{a}(1 - x) + \log_{a}(x + 3) $，其中 $ 0 ＜ a ＜ 1 $。
 
(1)求 $ f(x) $ 的定义域；
(2)当 $ a = \frac{1}{2} $ 时，求 $ f(x) $ 的最小值。

答案： 6.解：
(1)函数的定义域为$(-3,1)$.
(2)$f(x)$的最小值为$-2$.

7. 若 $ a = \log_{3}6 $，$ b = \log_{5}10 $，$ c = \log_{7}14 $，则(D)

A.$ c ＞ b ＞ a $
B.$ b ＞ c ＞ a $
C.$ a ＞ c ＞ b $
D.$ a ＞ b ＞ c $

答案： 7.D

8. 若函数 $ y = \log_{a}(2 - ax) $ 在区间 $ [0, 1] $ 上是减函数，则实数 $ a $ 的取值范围是$(1,2)$ 。

答案： @@8.$(1,2)$
 

9. 设不等式 $ 2(\log_{\frac{1}{2}}x)^{2} - 3\log_{\frac{1}{2}}x + 1 \leq 0 $ 的解集为 $ M $，求当 $ x \in M $ 时，函数 $ f(x) = \log_{2}\frac{x}{2} × \log_{2}\frac{x}{8} $ 的最大值和最小值。

答案： 9.解：$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y$取得最小值，为$\frac{21}{4}$；$x=\frac{1}{2}$时，$y$取得最大值，为$8$.

10. 已知函数 $ f(x) = \log_{a}(ax^{2} - x) $。
（1）若 $ a = \frac{1}{2} $，求 $ f(x) $ 的单调区间；
（2）若 $ f(x) $ 在区间 $ [2, 4] $ 上是增函数，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 10.解：
(1)当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}x^{2}-x)$.易知函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$，且$y=\frac{1}{2}x^{2}-x$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增.
故函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}x^{2}-x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递增，在区间$(2,+\infty)$上单调递减.
(2)令$g(x)=ax^{2}-x$，则$g(x)$图象的对称轴为直线$x=\frac{1}{2a}$.又因为$f(x)$在区间$[2,4]$上是增函数，
则有：①当$a\gt1$时，$\frac{1}{2a}\leq2$，所以$a\gt1$.
又因为$g(x)$在区间$[2,4]$上恒大于$0$，所以$g(2)\gt0$，所以$4a - 2\gt0$，解得$a\gt\frac{1}{2}$，所以$a\gt1$.
②当$0\lt a\lt1$时，$\frac{1}{2a}\geq4$，所以$0\lt a\leq\frac{1}{8}$.
又因为$g(x)$在区间$[2,4]$上恒大于$0$，所以$g(4)\gt0$，所以$16a - 4\gt0$，解得$a\gt\frac{1}{4}$，与$0\lt a\leq\frac{1}{8}$矛盾，舍去.
综上可得$a\gt1$.