《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 函数 $ y = \frac{1}{x - 1} $ 的单调递减区间是(−∞,1),(1,+∞)。

答案： 1.(−∞,1),(1,+∞)

2. 函数 $ f(x) = -x^2 + 2ax + 3 (a \in \mathbf{R}) $ 的单调递减区间为(a,+∞)。

答案： 2.(a,+∞)

【例2】证明函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $(2, +\infty)$ 上是增函数。

答案： 证明：$\forall x_1, x_2 \in (2, +\infty)$，且 $ x_1 ＜ x_2 $，则 $ f(x_1) - f(x_2) = x_1 + \frac{4}{x_1} - x_2 - \frac{4}{x_2} = (x_1 - x_2) + \frac{4(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - 4)}{x_1 x_2} $。
因为 $ 2 ＜ x_1 ＜ x_2 $，所以 $ x_1 - x_2 ＜ 0 $，$ x_1 x_2 ＞ 4 $，所以 $ x_1 x_2 - 4 ＞ 0 $，所以 $ f(x_1) - f(x_2) ＜ 0 $，即 $ f(x_1) ＜ f(x_2) $。
所以函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $(2, +\infty)$ 上是增函数。

3. 下列四个函数中，在区间 $(0, +\infty)$ 上为增函数的是(D)

A.$ f(x) = 3 - x $
B.$ f(x) = (x - 1)^2 $
C.$ f(x) = \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = x^2 + 2x $

答案： 3.D

4. 用定义法证明函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} $ 在区间 $(0, 1)$ 上是减函数。

答案： 4.证明:∀x₁,x₂∈(0,1)，且x₁＜x₂，
则f(x₁) - f(x₂)=$\frac{x_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-1}-\frac{x_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-1}$
=$\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}$
=$\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(x_{1}-1)(x_{1}+1)(x_{2}-1)(x_{2}+1)}$
因为x₁＜x₂，所以x₂ - x₁＞0.
又因为x₁,x₂∈(0,1)，
所以x₁ + 1＞0,x₂ + 1＞0,x₁ - 1＜0,x₂ - 1＜0,x₁ + x₂＞0，
所以f(x₁) - f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，
所以函数f(x)=$\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$在区间(0,1)上是减函数.

【例3】(1)已知函数 $ f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2 $ 在区间 $(-\infty, 4]$ 上是减函数，则实数 $ a $ 的取值范围为(−∞,−3]。

答案：
(1)(−∞,−3]　
 

(2)已知 $ y = f(x) $ 在定义域 $(-1, 1)$ 上是减函数，且 $ f(1 - a) ＜ f(2a - 1) $，则 $ a $ 的取值范围是(0,$\frac{2}{3}$)。

答案：
(2)(0,$\frac{2}{3}$)