《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 如图,$AD为\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC$,垂足为$F$,$\angle ABC的平分线交AD于点E$,连接$BD$,$CD$.
(1) 求证:$BD= CD$;
(2) 请判断$B$,$E$,$C三点是否在以点D$为圆心、$DB$的长为半径的圆上,并说明理由.

答案：
(1)
$\because AD$为$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD\perp BC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore BD = CD$。
(2)
$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心、$DB$的长为半径的圆上。
理由如下：
由
(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，
$\because BE$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABE=\angle CBE$，
$\because \angle DBC=\angle CAD$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \angle DBE=\angle DBC + \angle CBE=\angle CAD+\angle CBE$，
$\angle BED=\angle BAD+\angle ABE$（三角形外角性质），
$\because \angle BAD=\angle CAD$，$\angle ABE=\angle CBE$，
$\therefore \angle DBE=\angle BED$，
$\therefore BD = ED$，
由
(1)知$BD = CD$，
$\therefore BD = CD = ED$，
$\therefore B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心、$DB$的长为半径的圆上。

如图,直线$y= \sqrt{3}x-2\sqrt{3}与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点,$P是直线AB$上一动点,以点$P为圆心作\odot P$.
(1) 若$\odot P$的半径为1,试判断原点$O与\odot P$的位置关系,并说明理由;
(2) 若用$\odot P去覆盖\triangle AOB$,求能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径.

答案：
(1)设原点$O$到直线$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$的距离为$d$。
直线的一般式为$\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$，根据点$(x_0,y_0)$到直线$Ax + By+C = 0$的距离公式$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，这里$A = \sqrt{3}$，$B=-1$，$C = - 2\sqrt{3}$，$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，则$d=\frac{\vert0 - 0 - 2\sqrt{3}\vert}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 1}}=\sqrt{3}\gt1$。
所以原点$O$在$\odot P$外。
(2)直线$y=\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$与$x$轴交点$A$，令$y = 0$，则$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}=0$，解得$x = 2$，即$A(2,0)$；与$y$轴交点$B$，令$x = 0$，则$y=-2\sqrt{3}$，即$B(0,-2\sqrt{3})$。
$\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(0 + 2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4 + 12}=4$。
因为$\triangle AOB$中$\angle BOA = 90^{\circ}$，$\tan\angle OAB=\frac{\vert OB\vert}{\vert OA\vert}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，所以$\angle OAB = 60^{\circ}$。
能够完全覆盖$\triangle AOB$的最小圆是以$\triangle AOB$的最长边（斜边）$AB$为直径的圆，其半径$r=\frac{1}{2}\vert AB\vert = 2$。
综上，
(1)原点$O$在$\odot P$外；
(2)能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为$2$。