《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 如图,在△ABC中,AC= BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,连接BD,BE.
(1)判断△ABD的形状,并给出证明；
(2)求证：BE平分∠ABD.

答案：
(1)△ABD是等边三角形。
证明：
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD（旋转性质：对应边相等），∠BAD=60°（旋转角为60°）。
∴△ABD是等腰三角形，且∠BAD=60°。
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2)证明：
∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，DE=BC（全等三角形对应边相等）。
∵AC=BC，
∴AE=DE。
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD。
在△ABE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=DE,\\ AB=DB,\\ BE=BE,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBE（SSS）。
∴∠ABE=∠DBE（全等三角形对应角相等）。
∴BE平分∠ABD。

在△ABC中,AB= AC,∠BAC= α(0°＜α＜60°).将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①,直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)
(2)如图②,∠BCE= 150°,∠ABE= 60°,判断△ABE的形状并给出证明；
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC= 45°,求α的值.

答案：
(1) $30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
(2) △ABE是等边三角形。证明如下：
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得BD，
∴BC=BD，∠CBD=60°，故△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=CD，∠BCD=60°。
∵∠ABE=60°，∠CBD=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABD=∠CBE。
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，则∠ABD=∠ABC-∠CBD=$90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，故∠CBE=$30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
在△ABD中，∠BAD=$\frac{\alpha}{2}$（AB=AC，AD=AD，BD=CD，△ABD≌△ACD），∠ABD=$30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-$\frac{\alpha}{2}-(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=150^{\circ}$。
∵∠BCE=150°，
∴∠ADB=∠BCE。又BD=BC，∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE。
∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形。
(3) 30°