《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

21.(本小题 8 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,∠ABE= 60°,将△ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG,使点 A 的对应点 F 在线段 BE 上.
(1)请在图中作出△FBG.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)设 FG 与 BC 交于点 Q,连接 EQ,EC. 若 EC= BQ,请探究 AE 与 DE 的数量关系.

答案：
(1) 作图略（保留以下痕迹：以点B为圆心，BA长为半径画弧交BE于点F；以点B为顶点，BF为一边，顺时针作∠FBG=60°，在射线BG上截取BG=BE；连接FG，△FBG即为所求）。
(2) AE=3DE.
步骤如下：
设AB=a，在矩形ABCD中，∠BAE=90°，∠ABE=60°，则在Rt△ABE中，AE=AB·tan60°=a√3，BE=AB/cos60°=2a.
由旋转性质得：BF=BA=a，BG=BE=2a，∠FBG=∠ABE=60°，FG=AE=a√3.
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，坐标如下：
B(0,0)，A(0,a)，E(a√3,a)，BE：y=(1/√3)x.
F为BE上满足BF=BA=a的点，解得F((a√3)/2,a/2).
FG斜率为-√3，方程：y=-√3x+2a，与BC（y=0）交于Q(2a√3/3,0)，故BQ=2a√3/3.
设BC=c，则C(c,0)，EC=√[(c-a√3)²+a²].
由EC=BQ，解得c=4a√3/3（舍c=2a√3/3，因E在AD上）.
AD=BC=4a√3/3，DE=AD-AE=4a√3/3 - a√3=a√3/3，故AE=3DE.

22.(本小题 10 分)在△ABC 中,AB= AC= 2,∠BAC= 45°. 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE,旋转角为 α(0°＜α＜180°),BD,CE 所在直线交于点 F.
(1)当△ABC 旋转到图①位置时,∠CAD= ______(用含 α 的代数式表示),∠BFC 的度数为______；
(2)当 α= 45°时,请在图②中作出△ADE,并求此时点 A 到直线 BE 的距离.

√2

答案： √2