《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,在△ABC中,D是边AB上的点,∠B= ∠ACD,AD:AC= 1:2,试求△ADC与△ACB的周长比.
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答案： 由题意知，在$\triangle ABC$与$\triangle ACD$中，
$\angle B = \angle ACD$，
$\angle A = \angle A$（公共角）。
根据相似三角形的判定定理（两个角对应相等的三角形为相似三角形），
得：$\triangle ABC \sim \triangle ACD$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，
由$AD:AC = 1:2$，
可知，$\triangle ADC$与$\triangle ACB$的相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，
所以，$\triangle ADC$与$\triangle ACB$的周长比为$1:2$。
故答案为：$1:2$。

5. 求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求：
(1)根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'= ∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在已有的图形上作出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.
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答案：
(1) 作图痕迹：
以 $ A' $ 为顶点，$ A'B' $ 为一边，作 $ \angle B'A'C' = \angle BAC $，在射线 $ A'C' $ 上截取 $ A'C' $ 使 $ \frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} $，连接 $ B'C' $，得 $ \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC $。（保留作角、截线段痕迹）
(2) 已知：
$ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $，相似比为 $ k $，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ BC $ 边上的中线，$ A'D' $ 是 $ \triangle A'B'C' $ 中 $ B'C' $ 边上的中线。
求证：
$ \frac{AD}{A'D'} = k $。
证明：
∵ $ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $，
∴ $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k $，$ \angle B = \angle B' $。
∵ $ AD $，$ A'D' $ 是中线，
∴ $ BD = \frac{1}{2}BC $，$ B'D' = \frac{1}{2}B'C' $，
∴ $ \frac{BD}{B'D'} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k $。
在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle A'B'D' $ 中，
$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BD}{B'D'} = k $，$ \angle B = \angle B' $，
∴ $ \triangle ABD \sim \triangle A'B'D' $（两边成比例且夹角相等），
∴ $ \frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k $。
即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。