《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,OA是⊙O的半径,BC是⊙O的弦,OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°,BC= 4,则线段AE的长为2√2.

答案： 2√2

5. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,点O在AB上,以点O为圆心,OA的长为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且E是$\widehat{DF}$的中点.求证：BC是半圆O的切线.

答案： 证明：连接OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°．
∵E是$\widehat{DF}$的中点，
∴$\widehat{DE}=\widehat{EF}$，
∴∠DAE=∠EAF（等弧所对的圆周角相等），即AE平分∠BAC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°．
∵OA=OE（半圆半径），
∴∠OEA=∠BAE=22.5°（等边对等角）．
在△AOE中，∠AOE=180°-∠OEA-∠BAE=180°-22.5°-22.5°=135°．
∵点O在AB上，
∴∠AOE+∠EOB=180°（平角定义），
∴∠EOB=180°-∠AOE=180°-135°=45°．
在△OEB中，∠OEB=180°-∠EOB-∠ABC=180°-45°-45°=90°，
∴OE⊥BC．
∵OE是半圆O的半径，E是BC与半圆O的交点，
∴BC是半圆O的切线（切线的判定定理）．
结论：BC是半圆O的切线．

6. 如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P.若AC= PC= 3$\sqrt{3}$,求PB的长.

答案： 3