《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

23. (本小题 12 分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题：如图①,P 是正方形 ABCD 内一点,PA= 1,PB= 2,PC= 3.你能求出∠APB 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路.
思路一：将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到△BP'A,连接 PP',求出∠APB 的度数；
思路二：将△APB 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到△CP'B,连接 PP',求出∠APB 的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图②,若 P 是正方形 ABCD 外一点,PA= 3,PB= 1,PC= √11,求∠APB 的度数.

答案： 问题解决
选思路一：
1. 将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle BP'A$，连接$PP'$。
由旋转性质可知：$\triangle BPC\cong\triangle BP'A$，所以$BP' = BP = 2$，$P'A = PC = 3$，$\angle PBP'=90^{\circ}$。
2. 在$Rt\triangle PBP'$中：
因为$\angle PBP' = 90^{\circ}$，$BP = BP' = 2$，根据等腰直角三角形的性质，可得$\angle BPP'=\angle BP'P = 45^{\circ}$，$PP'=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
3. 在$\triangle APP'$中：
$PA = 1$，$P'A = 3$，$PP'=2\sqrt{2}$，根据勾股定理的逆定理，$1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=1 + 8 = 9=3^{2}$，即$PA^{2}+PP'^{2}=P'A^{2}$，所以$\triangle APP'$是直角三角形，$\angle APP' = 90^{\circ}$。
4. 求$\angle APB$：
$\angle APB=\angle APP'+\angle BPP'=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
类比探究
1. 将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle BP'A$，连接$PP'$。
由旋转性质得$BP' = BP = 1$，$P'A = PC=\sqrt{11}$，$\angle PBP'=90^{\circ}$。
2. 在$Rt\triangle PBP'$中：
因为$\angle PBP' = 90^{\circ}$，$BP = BP' = 1$，所以$\angle BPP'=\angle BP'P = 45^{\circ}$，$PP'=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
3. 在$\triangle APP'$中：
$PA = 3$，$P'A=\sqrt{11}$，$PP'=\sqrt{2}$，计算$PP'^{2}+P'A^{2}=2 + 11 = 13$，$PA^{2}=9$，$PP'^{2}+P'A^{2}\neq PA^{2}$；$PA^{2}+PP'^{2}=9 + 2 = 11=P'A^{2}$，所以$\triangle APP'$是直角三角形，$\angle APP' = 90^{\circ}$。
4. 求$\angle APB$：
$\angle APB=\angle APP'-\angle BPP'=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
综上，问题解决中$\angle APB = 135^{\circ}$；类比探究中$\angle APB = 135^{\circ}（错误，应为45^{\circ}，修正如下）$，类比探究$\angle APB = 45^{\circ}$。