《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

3. 要组织一次篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?

答案： 设应邀请$x$支球队参加比赛。
由题意得，单循环比赛场数公式为$\frac{1}{2}x(x - 1)$。
根据计划安排$15$场比赛，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x - 1)=15$
$x(x - 1)=30$
$x^{2}-x - 30=0$
因式分解得$(x - 6)(x + 5)=0$
则$x - 6=0$或$x + 5=0$
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-5$（球队数量不能为负数，舍去）
答：应邀请$6$支球队参加比赛。

4. 元旦时,某班一个小组每两人之间互送一张贺卡,已知全小组共送贺卡30张,求这个小组的人数.

答案： 设这个小组有$x$人。
每两人之间互送一张贺卡，即每个人给其他$x - 1$人各送一张。
所以$x$人总共送的贺卡数为$x(x - 1)$。
根据题意，得$x(x - 1)=30$。
展开方程：$x^{2}-x - 30 = 0$。
因式分解得$(x - 6)(x + 5)=0$。
则$x - 6 = 0$或$x + 5 = 0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-5$（人数不能为负数，舍去）。
答：这个小组有$6$人。

5. 某种植物的主干上长出若干数目的枝干,每个枝干上又长出同样数量的小树枝,主干、枝干和小树枝的总个数是57.每个枝干上长出多少个小树枝?

答案： 设每个枝干上长出 $x$ 个小树枝。
根据题意，主干有 1 个，枝干有 $x$ 个，小树枝有 $x \cdot x = x^{2}$ 个。
总个数为主干、枝干和小树枝的数量之和，即：
$1 + x + x^{2} = 57$。
整理方程，得：
$x^{2} + x - 56 = 0$。
因式分解该方程，得：
$(x - 7)(x + 8) = 0$。
解得 $x_{1} = 7$，$x_{2} = -8$。
由于小树枝的数量不能为负，所以 $x_{2} = -8$ 不符合题意，舍去。
因此，每个枝干上长出 7 个小树枝。