《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 如图,$A$,$B$,$C$,$D$ 四点在抛物线 $y= ax^{2}$ 上,且 $AB// CD// x$ 轴,与 $y$ 轴的交点分别为 $E$,$F$。已知 $AB= 20$,$EF= 3$,点 $D(5,m)$。

(1)用含 $m$ 的式子表示点 $B$ 的坐标；
(2)求该抛物线的解析式。

答案：
(1)
因为点$D(5,m)$在抛物线$y = ax^{2}$上，把$D(5,m)$代入$y = ax^{2}$得$m = 25a$，即$a=\frac{m}{25}$，抛物线对称轴为$y$轴。
设$B(x,y)$，因为$AB// x$轴，$AB = 20$，且$A$、$B$关于$y$轴对称，所以点$B$的横坐标为$10$，把$B(10,y)$代入$y = ax^{2}=\frac{m}{25}×100 = 4m$，所以点$B$的坐标为$(10,4m)$。
(2)
因为$AB// CD// x$ 轴，$AB = 20$，设$C(x_{1},y_{1})$，$D(5,m)$，则$\vert x_{1}\vert=5$，$C$、$D$关于$y$轴对称，$CD$间距离为$10 - 5= 5$（取绝对值相关情况，这里$D$横坐标为$5$，$C$横坐标为$- 5$）。
已知$EF = 3$，设$E$点纵坐标为$y_{E}$，$F$点纵坐标为$y_{F}$，$y_{E}-y_{F}=3$。
$A$、$B$纵坐标$y_{AB}=a×10^{2}=100a$，$C$、$D$纵坐标$y_{CD}=a×5^{2}=25a$。
$y_{AB}-y_{CD}=3$（因为$EF$长度等于$A$与$C$（或$B$与$D$）纵坐标之差），即$100a-25a = 3$，$75a=3$，解得$a=\frac{1}{25}$。
把$a = \frac{1}{25}$代入$y = ax^{2}$，所以抛物线的解析式为$y=\frac{1}{25}x^{2}$。
综上，
(1)点$B$的坐标为$(10,4m)$；
(2)抛物线的解析式为$y=\frac{1}{25}x^{2}$。

拓展提升
如图,等腰直角三角形 $ABC$ 和等腰直角三角形 $BDE$ 的直角边长分别为 $2m$,$2n$。原点 $O$ 为 $BC$ 的中点,点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上,抛物线 $y= ax^{2}$ 经过 $A$,$E$ 两点。求 $\frac{m}{n}$ 的值。

答案：

解$:$因为等腰直角三角形$ABC$和等腰直角三角形$BDE$的直角边长为$2m,2n$　　

所以$AB=BC=2m,BD=DE=2n$　　

因为$O$是$BC$的中点　　

所以$OB=m$　　

所以$A(-2m,m),E(2n,m+2n)$　　

因为抛物线经过$A,E$两点　　

所以$\begin{cases}{m=4am²①} \\{m+2n=4an²②} \end{cases}$　　

$②÷①$得$:\frac{m+2n}{m}=(\frac{n}{m})²$　　

解得$\frac{n}{m}=1+\sqrt{2}$　　

所以$\frac{m}{n}=\sqrt{2}-1.$