《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

10. 如图,⊙O经过A,B,C三点,AB= AC,连接AO.
(1)求证:AO⊥BC;
(2)若BC= 48,⊙O的半径为25,求AB的长.

答案：

(1)证明:连接 OB,OC,如图所示.
在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中,
$\left\{\begin{array}{l}AO = AO,\\BO = CO,\\AB = AC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOB\cong \triangle AOC(SSS)$.
$\therefore \angle BAO=\angle CAO.\because AB = AC,\therefore AO\perp BC$.
(2)解:延长 AO 交 BC 于点 D,如图所示.
由
(1),得$AO\perp BC,\therefore AD\perp BC$.
又$\because OB = OC,BC = 48$.
$\therefore BD = CD=\frac{1}{2}BC = 24$.
$\because \odot O$的半径为 25,
$\therefore OA = OB = OC = 25$.
$\therefore$在$Rt\triangle BDO$中,
$OD=\sqrt{OB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25^{2}-24^{2}} = 7$.
$\therefore AD = OA + OD = 25 + 7 = 32$.
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中,
$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{32^{2}+24^{2}} = 40$,
即 AB 的长为 40.

拓展提升
如图,在⊙O中,弦CD交直径AB于点P,当点P在AB上运动时,始终保持∠APC= 45°.探究$\frac{PC^2+PD^2}{AB^2}$的值是否变化.若不变,试求其值;若变化,请说明理由.

答案： 解：
设⊙O半径为$r$，则$AB=2r$，$AB^2=4r^2$。
过圆心$O$作$OM \perp CD$于$M$，由垂径定理得$M$为$CD$中点，设$CM=MD=a$，则$a^2=OC^2 - OM^2=r^2 - OM^2$。
设$PM=t$，则$PC=|a-t|$，$PD=|a+t|$，故$PC^2 + PD^2=(a-t)^2+(a+t)^2=2(a^2 + t^2)$。
∵$\angle APC=45°$，$OM \perp CD$，
∴$\triangle OMP$为等腰直角三角形，$OM=PM=t$。
在$Rt\triangle OMP$中，$OP^2=OM^2 + PM^2=2t^2$，即$t^2=\frac{OP^2}{2}$。
又$a^2=r^2 - t^2$，代入$PC^2 + PD^2=2(a^2 + t^2)$得：
$PC^2 + PD^2=2[(r^2 - t^2)+t^2]=2r^2$。
∴$\frac{PC^2 + PD^2}{AB^2}=\frac{2r^2}{4r^2}=\frac{1}{2}$。
结论：值不变，为$\frac{1}{2}$。