《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADE,其中点 B 与点D 对应,点 C 与点 E 对应.
(1)请在图中作出△ADE;
(2)求直线 BC 与直线 DE 相交所成的锐角的大小.

答案：
(1) 作图步骤：
以点A为旋转中心，将点B绕点A逆时针旋转120°，得到点D；
以点A为旋转中心，将点C绕点A逆时针旋转120°，得到点E；
连接AD、AE、DE，得到△ADE。
(2) 设直线BC与直线DE相交于点F，由旋转性质可知△ABC≌△ADE，∠BAB'=120°（B'为旋转后B对应点，即D），则∠BAC = ∠DAE。
因为旋转角为120°，所以∠BAD = 120°。
由全等可知∠ABC = ∠ADE。
在四边形ABFD中，∠BFD = 360° - ∠ABC - ∠BAD - ∠ADE，因为∠ABC = ∠ADE，所以∠BFD = 360° - 2∠ABC - 120°。
又因为∠BAC+∠ABC +∠ACB=180°，且∠BAC = ∠DAE，在△ABD中，∠ABD = ∠ADB（等腰三角形性质，AB = AD），∠ABD=(180° - 120°)/2 = 30°。
直线BC与直线DE相交所成的锐角为60°。
综上，直线BC与直线DE相交所成的锐角的大小为60°。

拓展提升
如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC= 90°,D 是边 BC 上一点,作射线 AD,满足 0°＜∠DAC＜45°,在射线 AD 上取一点 E,且 AE＞BC.将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AF,连接 BE,FE,连接FC 并延长交 BE 于点 G.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠EGF 的度数;
(3)连接 GA,用等式表示线段 GA,GB,GC 之间的数量关系,并给出证明.

答案：
(2) 90°；
(3) GB² + GC²=2GA²．