《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

11. 如图,这是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成一个底面积是$24cm^{2}$的有盖的长方体铁盒.设剪去的正方形的边长为x cm.根据题意,列出关于x的方程.

答案： 设剪去的正方形的边长为 $x$ cm，则长方体铁盒的底面长为 $(12 - 2x)$ cm，宽为 $(10 - 2x) ÷ 2 × 2（两个正方形之间的矩形部分宽为总宽减去两个正方形边长后，再考虑到底面宽度的构成，实际底面宽计算应直接基于图形关系得出）= (10 - 2x + 2x - 2 × （矩形部分中由正方形占据的宽度影响已包含在 2x中）的简化) \rightarrow 直接根据题意 (5 - x) × 2 的构成中底面宽为 (10 - 2 × （正方形边长影响的宽度一半）) = 10 - 2x 在底面宽度方向的实际有效部分为 (5 - x)$（这里更直观的理解是，底面宽由原始宽度10cm减去两侧各一个正方形的边长x，再考虑到底面是剩余部分的全宽，所以为$10 - 2x$ 分配到两侧各减少x，底面宽就是 $5 - x + 5 - x$ 的合并计算简化为 $10 - 2x$ 在底面作为宽度，但底面制作时是将两侧材料折起，所以底面实际使用的宽度表达式在计算面积时直接用 $ (10 - 2x) ÷ 2 × 2$ 的思路是不需要的，直接 $10 - 2x$ 作为底面宽度的计算基础在底面积公式中体现，即底面宽为 $5 - x$（因为$10 - 2x$ 是两侧各减去x后的总剩余宽度，作为底面宽度时就是 $5 - x$ 的两倍关系在面积中体现，但此处我们直接用底面长和宽的实际尺寸）），
根据题意，底面积是 $24$ $cm^2$，因此可列方程：
$(12 - 2x)(10 - 2x ÷ 2 × （实际底面宽计算不需再除以2，上面已说明）) \rightarrow (12 - 2x)(5 - x) = 24 × 1（因为底面积就是长乘以宽）$，
即：
$(12 - 2x)(5 - x) = 24$，
展开得：
$60 - 12x - 10x + 2x^2 = 24$，
整理得：
$x^2 - 11x + 18 = 0$。
故答案为：$(12 - 2x)(5 - x) = 24$（或 $x^2 - 11x + 18 = 0$）。

已知$x= m$是关于x的方程$x^{2}-2026x+1= 0$的一个根,求代数式$m^{2}-2025m+\frac{2026}{m^{2}+1}$的值.

答案： 2025