《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

23. (本小题 8 分)如图,AB 为半圆 O 的直径,点 C,D 在半圆 O 上,直线 CM 与半圆 O 相切于点 C,$CM// AD$.
(1) 若$\angle MCD= \alpha$,求$\angle COA$的大小;(用含α的式子表示)
(2) 过点 O 作$OE\perp CD$交 CM 于点 E,交 CD 于点 F.若$CD// AB$,$AB= 6$,求 CE 的长.

答案：
(1) 连接OC，
∵CM是半圆O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCM=90°。
∵∠MCD=α，
∴∠OCD=∠OCM - ∠MCD=90° - α。
∵OC=OD，
∴△OCD为等腰三角形，∠ODC=∠OCD=90° - α。
∵CM//AD，
∴∠ADC=∠MCD=α（内错角相等）。
∠ODA=∠ODC - ∠ADC=(90° - α) - α=90° - 2α。
∵OA=OD，
∴△OAD为等腰三角形，∠OAD=∠ODA=90° - 2α。
∵OC⊥AD（AD//CM，OC⊥CM），在Rt△AHO中，∠OAH + ∠COA=90°，
即(90° - 2α) + ∠COA=90°，
∴∠COA=2α。
(2) 连接OC，
∵AB=6，
∴半径OC=3。
∵CD//AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，设CD与OE交于F，F为CD中点。
以O为原点，AB为x轴建系，设C(-a,b)，D(a,b)，则CD:y=b，OE为y轴(x=0)。
C在圆上：a² + b²=9。
CM为切线，方程：-ax + by=9，E在OE上，令x=0得E(0,9/b)。
∵CM//AD，A(-3,0)，D(a,b)，AD斜率=b/(a+3)，CM斜率=a/b，
∴b/(a+3)=a/b ⇒ b²=a² + 3a。
联立a² + b²=9与b²=a² + 3a，得2a² + 3a - 9=0，解得a=3/2（a＞0）。
则b²=(3/2)² + 3*(3/2)=27/4，b=3√3/2。
CE=√[a² + (9/b - b)²]=√[(9 - b²) + (9 - b²)²/b²]=3a/b=3*(3/2)/(3√3/2)=√3。
(1) 2α；
(2) √3。

24. (本小题 10 分)如图,AB,AC 是$\odot O$的弦,过点 C 作$CE\perp AB$于点 D,交$\odot O$于点 E,过点 B 作$BF\perp AC$于点 F,交 CE 于点 G,连接 BE.
(1) 求证:$BE= BG$;
(2) 过点 B 作$BH\perp AB交\odot O$于点 H.若 BE 的长等于$\odot O$的半径,$BH= 4$,$AC= 2\sqrt{7}$,求 CE 的长.

答案：
(1) 见解析；
(2) 7。