《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m= 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求m的值.

答案：
(1)证明：方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$中，$a=1$，$b=-(2m+1)$，$c=m^{2}+m$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac=[-(2m+1)]^{2}-4×1×(m^{2}+m)=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m=1$，因为$\Delta=1＞0$，所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)由根与系数的关系得：$a+b=2m+1$，$ab=m^{2}+m$。
$(2a+b)(a+2b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}=2(a^{2}+b^{2})+5ab=2[(a+b)^{2}-2ab]+5ab=2(a+b)^{2}+ab$。
将$a+b=2m+1$，$ab=m^{2}+m$代入得：$2(2m+1)^{2}+(m^{2}+m)=20$。
展开化简：$2(4m^{2}+4m+1)+m^{2}+m=8m^{2}+8m+2+m^{2}+m=9m^{2}+9m+2=20$，即$9m^{2}+9m-18=0$，化简得$m^{2}+m-2=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
综上，$m$的值为$-2$或$1$。

拓展提升
已知a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-3x-5= 0$的两个实数根,求代数式$2a^{3}-6a^{2}+b^{2}+7b+1$的值.

答案： 答题卡：
因为$a$，$b$是方程$x^{2} - 3x - 5 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$a + b = 3$，$ab = - 5$，
同时，由方程可得：
$a^{2} = 3a + 5$，$b^{2} = 3b + 5$，
将上述关系代入代数式$2a^{3} - 6a^{2} + b^{2} + 7b + 1$中，得：
$2a^{3} - 6a^{2} + b^{2} + 7b + 1$
$= 2a(3a + 5) - 6a^{2} + 3b + 5 + 7b + 1$
$= 6a^{2} + 10a - 6a^{2} + 10b + 6$
$= 10(a + b) + 6$
$= 10 × 3 + 6$
$= 36$
故答案为：36。