《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

2. 如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料).

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$ 640 m^2$的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到$ 650 m^2$吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.

答案：
(1)设矩形羊圈ABCD的垂直于房墙的一边AB的长为$x$米，则平行于墙的一边AD的长为$(70 - 2x + 2) = (72 - 2x)$米（因为BC边上留一个2米宽的门）。
根据题意，矩形的面积公式为：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：
$x^{2} - 36x + 320 = 0$
因式分解得：
$(x - 16)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 16, x_2 = 20$
当$x = 16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x = 20$时，$72 - 2x = 32$。
答：当羊圈的长为40米，宽为16米或长为32米，宽为20米时，能围成一个面积为$640m^2$的羊圈。
(2)不能，理由如下：
设矩形羊圈的垂直于房墙的一边AB的长为$x$米，则矩形的面积为：
$y = x(72 - 2x) = -2x^{2} + 72x$
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{72}{2 × (-2)} = 18$
将$x = 18$代入得：
$y = -2 × 18^{2} + 72 × 18 = 648$
因为$648 ＜ 650$，所以羊圈的面积不能达到$650m^2$。

3. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长为 50 m,宽为 40 m,要求扩建后的矩形广场长与宽的比为 3:2,扩建区域的扩建费用为每平方米 30 元.扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖,铺设地砖的费用为每平方米 100 元.如果计划总费用为 642000 元,那么扩建后广场的长和宽应分别是多少米？

答案： 设扩建后广场的长为$3x$米，宽为$2x$米。
原广场面积：$50×40 = 2000$平方米，扩建后面积：$3x·2x = 6x²$平方米，扩建区域面积：$6x² - 2000$平方米。
扩建费用：$30(6x² - 2000)$元，地砖费用：$100×6x²$元。
依题意列方程：$30(6x² - 2000) + 100×6x² = 642000$
化简得：$180x² - 60000 + 600x² = 642000$
合并同类项：$780x² = 702000$
解得：$x² = 900$，$x = 30$（$x=-30$舍去）
扩建后长：$3x = 90$米，宽：$2x = 60$米。
答：扩建后广场的长为90米，宽为60米。