《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

19. (本小题 6 分)一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图,把一个直径为 10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘,测得钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm.求这个孔道的直径 AB 的长.

答案： 解：设圆心为$O$，连接$OA$，过$O$作$OC\perp AB$于点$C$，则$AB = 2AC$。
已知小钢球直径为$10mm$，则半径$OA = 5mm$，钢球顶端离孔道外端的距离为$8mm$，所以$OC = 8 - 5 = 3mm$。
在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}$，即$AC = \sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4mm$。
所以$AB = 2AC = 2×4 = 8mm$。
综上，这个孔道的直径$AB$的长为$8mm$。

20. (本小题 6 分)如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB$,以 BC 为直径的半圆与 AB 交于点 D,与 AC 交于点 E.求证:
(1) D 为 AB 的中点;
(2) $AD= DE$.

答案：
(1)连接CD。
∵BC是半圆直径，D在半圆上，
∴∠BDC=90°(直径所对圆周角是直角)，即CD⊥AB。
∵CA=CB，△ABC为等腰三角形，
∴CD是AB边上的中线(等腰三角形三线合一)，
∴AD=BD，即D为AB中点。
(2)连接DE。
∵D，E在以BC为直径的圆上，
∴∠DEC=∠DBC(同弧DC所对圆周角相等)。
∵CA=CB，
∴∠DBC=∠A，故∠DEC=∠A。
∵CA=CB，CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB(三线合一)。
设∠A=α，则∠ACB=180°-2α，∠DCE=∠ACB/2=90°-α。
在△DEC中，∠DEC+∠DCE+∠EDC=180°，
即α+(90°-α)+∠EDC=180°，解得∠EDC=90°，
∴DE⊥CD。
∵CD⊥AB，
∴DE//AB(垂直于同一直线的两直线平行)。
∴∠AED=∠A(两直线平行，内错角相等)，
∴AD=DE(等角对等边)。