《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

23. (本小题8分)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员之间的对话.
小王:该水果的进价是每千克22元.
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160 kg;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120 kg.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价.

答案： 设这种水果的销售价为每千克$x$元。
1. 利润与销售量的表达式
每千克利润为$(x - 22)$元。
销售价从38元降到$x$元，降低了$(38 - x)$元，每降3元销量增加120kg，故增加销量为$\frac{38 - x}{3} × 120 = 40(38 - x)$kg。
实际销售量为：$160 + 40(38 - x) = 1680 - 40x$ kg。
2. 列方程
利润公式：$(x - 22)(1680 - 40x) = 3640$。
3. 解方程
化简方程：
$(x - 22)(1680 - 40x) = 3640$
展开得：$-40x^2 + 2560x - 36960 = 3640$
整理：$x^2 - 64x + 1015 = 0$
判别式$\Delta = 64^2 - 4 × 1 × 1015 = 36$，
解得$x = \frac{64 \pm 6}{2}$，即$x_1 = 35$，$x_2 = 29$。
4. 选择最优解
要让顾客实惠，选较低售价，故$x = 29$。
答：这种水果的销售价为每千克29元。

24. (本小题8分)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}+(1-5m)x-5= 0(m≠0)$.
(1) 求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两根分别为$x_{1},x_{2}$,且$|x_{1}-x_{2}|= 6$,求m的值；
(3) 在(2)的条件下,若m＞0,且关于x的方程$mx^{2}+(1-5m)x-5= b$的两根为a和a+n,求代数式$4a^{2}-n^{2}+8n$的值.

答案：
(1)
一元二次方程$mx^{2}+(1 - 5m)x - 5 = 0(m\neq0)$的判别式$\Delta=(1 - 5m)^{2}-4m×(-5)$
$=1 - 10m + 25m^{2}+20m$
$=25m^{2}+10m + 1=(5m + 1)^{2}\geq0$
所以无论$m$为任何非零实数，此方程总有两个实数根。
(2)
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$a = m$，$b = 1 - 5m$，$\Delta=(5m + 1)^{2}$
$x=\frac{-(1 - 5m)\pm(5m + 1)}{2m}$
$x_{1}=\frac{-(1 - 5m)+(5m + 1)}{2m}=\frac{-1 + 5m+5m + 1}{2m}=5$
$x_{2}=\frac{-(1 - 5m)-(5m + 1)}{2m}=\frac{-1 + 5m-5m - 1}{2m}=-\frac{1}{m}$
因为$\vert x_{1}-x_{2}\vert = 6$，所以$\vert5+\frac{1}{m}\vert = 6$
当$5+\frac{1}{m}=6$时，$\frac{1}{m}=1$，$m = 1$
当$5+\frac{1}{m}=-6$时，$\frac{1}{m}=-11$，$m=-\frac{1}{11}$
所以$m$的值为$1$或$-\frac{1}{11}$。
(3)
因为$m\gt0$，所以$m = 1$
此时方程为$x^{2}-4x - 5 = b$，即$x^{2}-4x-(5 + b)=0$
两根为$a$和$a + n$，由韦达定理$a+(a + n)=4$，$2a + n = 4$
$a(a + n)=-(5 + b)$
$4a^{2}-n^{2}+8n=4a^{2}-(n^{2}-8n + 16)+16=4a^{2}-(n - 4)^{2}+16$
把$n = 4 - 2a$代入得：
$4a^{2}-(4 - 2a - 4)^{2}+16=4a^{2}-4a^{2}+16 = 16$
综上，答案依次为：
(1)证明见上述过程；
(2)$m$的值为$1$或$-\frac{1}{11}$；
(3)$16$。