《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-5x$的二次项系数是$\frac{1}{2}$,一次项系数是$-5$,常数项是$0$.

答案： $\frac{1}{2}$，$-5$，$0$

5. 若一个圆柱的高与底面直径相等,则它的表面积S与底面半径r之间的函数解析式为$S = 6\pi r^{2}$.

答案： 设圆柱的底面半径为 $r$，则底面直径为 $2r$。
由题意知，圆柱的高 $h$ 等于底面直径，即 $h = 2r$。
圆柱的侧面积为 $2\pi r × h = 2\pi r × 2r = 4\pi r^{2}$。
圆柱的两个底面积为 $2× \pi r^{2} = 2\pi r^{2}$。
因此，圆柱的总表面积 $S$ 为侧面积加两个底面积，即 $S = 4\pi r^{2} + 2\pi r^{2} = 6\pi r^{2}$。
故答案为：$S = 6\pi r^{2}$。

6. 某快递公司10月份的快递件数是10万件,如果该公司第四季度每月快递件数的增长率均为x,12月份的快递件数为y万件,那么y关于x的函数解析式是y=10(1+x)².

答案： 10月份快递件数为10万件，11月份在10月份基础上增长x，件数为10(1+x)万件；12月份在11月份基础上增长x，件数为10(1+x)(1+x)=10(1+x)²万件。
y=10(1+x)²

7. 如图,某生物兴趣小组要在长40 m、宽30 m的矩形园地种植蔬菜.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路(空白部分).设小路的宽为x(单位：m),蔬菜种植面积为y(单位：$m^{2}$).

(1) 求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围；
(2) 若蔬菜种植面积为$1008\ m^{2}$,求x的值.

答案：
(1) 由题意，矩形园地总面积为 $40 × 30 = 1200 \, m^2$。三条小路为一横两纵等宽小路，宽为 $x$，则种植区域的长为 $40 - 2x$，宽为 $30 - x$，故种植面积 $y = (40 - 2x)(30 - x)$。展开得 $y = 2x^2 - 100x + 1200$。自变量 $x$ 需满足 $40 - 2x ＞ 0$ 且 $30 - x ＞ 0$，解得 $0 ＜ x ＜ 20$。
(2) 当 $y = 1008$ 时，方程为 $2x^2 - 100x + 1200 = 1008$，化简得 $x^2 - 50x + 96 = 0$。因式分解得 $(x - 2)(x - 48) = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 48$（舍去），故 $x = 2$。
(1) $y = 2x^2 - 100x + 1200$，$0 ＜ x ＜ 20$；
(2) $x = 2$。

8. 现有n支球队参加足球联赛,每两队之间都进行两场比赛,共要比赛m场.
(1) 写出m与n之间的函数解析式；
(2) 当$n= 6$时,求m的值；
(3) 当$m= 90$时,求n的值.

答案：
(1)每两队之间都进行两场比赛，因此总比赛场数 $m$ 与球队数量 $n$ 的关系为：
$m = n(n - 1)$
(2)当 $n = 6$ 时，代入上述公式得：
$m = 6 × (6 - 1) = 30 × 1（（即 6 × 5））= 30$
所以，$m = 30$。
(3)当 $m = 90$ 时，代入公式 $m = n(n - 1)$ 得：
$n(n - 1) = 90$
解此一元二次方程，得 $n = 10$ 或 $n = -9$。由于球队数量不能为负，所以 $n = 10$。
所以，$n = 10$。