《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 如图,用一块半径为30 cm、面积为$300π cm^2$的扇形铁皮制作一个无底的圆锥.(不计损耗)
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径.
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答案：
(1)设扇形的圆心角为$n^{\circ}$，
由题意得：$\frac{n\pi×30^{2}}{360}=300\pi$，
解得：$n = 120$，
所以，扇形的圆心角的度数为$120^{\circ}$。
(2)设圆锥底面半径为$r cm$，
扇形的弧长为：$\frac{120\pi×30}{180}=20\pi(cm)$，
由题意得：$2\pi r = 20\pi$，
解得：$r = 10$，
所以，圆锥的底面半径为$10cm$。

8. 如图①,在等腰三角形ABC中,∠BAC= 120°,AD是∠BAC的平分线,且AD= 6,以点A为圆心、AD的长为半径作$\overset{\frown}{EF}$,交AB于点E,交AC于点F.
(1)求由$\overset{\frown}{EF}$及线段FC,CB,BE围成图形(阴影部分)的面积；
(2)如图②,将阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h.
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答案：
(1)
等腰$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，则$\angle BAD=\angle CAD = 60^{\circ}$，$AD\perp BC$，$BD = DC$，$\angle B=\angle C=30^{\circ}$。
已知$AD = 6$，则$AB = AC=\frac{AD}{\sin30^{\circ}} = 12$，$BD = DC=AD\cot30^{\circ}=6\sqrt{3}$，$BC = 12\sqrt{3}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}×12×12×\frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}$。
扇形$AEF$中，$n = 120$，$r = 6$，$S_{扇形AEF}=\frac{120\pi×6^{2}}{360}=12\pi$。
$S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形AEF}=36\sqrt{3}-12\pi$。
(2)
设圆锥底面半径为$r$，扇形$AEF$的弧长$l$等于圆锥底面周长$C$。
$l=\frac{120\pi×6}{180}=4\pi$，$C = 2\pi r$，则$2\pi r=4\pi$，解得$r = 2$。
圆锥的母线长$l_{母线}=6$，根据圆锥的高$h$、底面半径$r$与母线长$l_{母线}$构成直角三角形，由勾股定理$h=\sqrt{6^{2}-2^{2}} = 4\sqrt{2}$。
综上，答案为：
(1)$36\sqrt{3}-12\pi$；
(2)$4\sqrt{2}$。