《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

20. (本小题6分)某商店10月份的销售额为40万元,11月份因经营不善销售额有明显下降,商店积极改进,12月份的销售额达到45万元,已知12月份销售额的增长率是11月份销售额的下降率的2倍.求11月份的销售额.

答案： 设11月份销售额的下降率为$x$，则12月份销售额的增长率为$2x$。
10月份销售额为40万元，11月份销售额为$40(1 - x)$万元，12月份销售额为$40(1 - x)(1 + 2x)$万元。
依题意列方程：$40(1 - x)(1 + 2x) = 45$。
展开并整理：
$40(1 + 2x - x - 2x^2) = 45$
$40(1 + x - 2x^2) = 45$
$8(1 + x - 2x^2) = 9$
$8 + 8x - 16x^2 = 9$
$16x^2 - 8x + 1 = 0$
解方程：$(4x - 1)^2 = 0$，得$x = \frac{1}{4} = 0.25$。
11月份销售额：$40(1 - 0.25) = 40 × 0.75 = 30$（万元）。
答：11月份的销售额为30万元。

21. (本小题6分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1= 0$.
(1) 求证:无论m取何值,原方程都有两个不相等的实数根；
(2) 若原方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求m的值.

答案：
(1)
对于一元二次方程 $a = 1$，$b = -(m + 2)$，$c = m - 1$，
其判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
计算得：
$\Delta = \lbrack - (m + 2)\rbrack^{2} - 4×(1)×(m - 1)$
$= m^{2} + 4m + 4 - 4m + 4$
$= m^{2} + 8$
由于 $m^{2} \geq 0$，所以 $m^{2} + 8 ＞ 0$。
因此，无论 $m$ 取何值，原方程都有两个不相等的实数根。
(2)
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = m + 2$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = m - 1$
由 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 9$，
得：
$(x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1}x_{2} = 9$
代入 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的值，得：
$(m + 2)^{2} - 3(m - 1) = 9$
$m^{2} + 4m + 4 - 3m + 3 = 9$
$m^{2} + m - 2 = 0$
$(m - 1)(m + 2) = 0$
解得 $m_{1} = 1$，$m_{2} = -2$。
所以$m$的值为1或-2。