《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

9. 已知矩形ABCD的长$AB= 30$,宽$BC= 20$.
(1)如图①,若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,图中所形成的矩形ABCD与矩形$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
(2)如图②,当x为多少时,图中的矩形ABCD与矩形$A'B'C'D'$相似？

答案：
(1) 不相似。理由：矩形ABCD的长为30，宽为20；矩形A'B'C'D'的长为30-2×1=28，宽为20-2×1=18。
∵30/28≠20/18，对应边不成比例，
∴两矩形不相似。
(2) 矩形A'B'C'D'的长为30-2x，宽为20-2×1=18。
情况一：30/(30-2x)=20/18，解得x=1.5；
情况二：30/18=20/(30-2x)，解得x=9。
∴x=1.5或x=9。

拓展提升
如图,将矩形ABCD沿线段AE翻折,使点B恰好落在边AD上的点F处,再沿EF将矩形ABCD剪开,所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似,求$\frac{AB}{AD}$的值.

答案： 设矩形$ABCD$中，$AD = BC = a$，$AB = CD = b$，由折叠知，$AF = AB = b$，$EF = EB$，$∠AFE = ∠B = 90^{\circ}$，
因为$∠BAD = 90^{\circ}$，
所以四边形$ABEF$为矩形，
由折叠知$AB = AF$，
所以四边形$ABEF$为正方形，
所以$AD = AF + FD$，即$FD = a - b$，
因为矩形$ECDF$和原来的矩形$ABCD$相似，
所以$\frac{AB}{AD} = \frac{FD}{EF}$，
即$\frac{b}{a} = \frac{a - b}{b}$，
整理得$(\frac{a}{b})^{2} - \frac{a}{b} - 1 = 0$，
解得$\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{a}{b} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$（舍去），
所以$\frac{AB}{AD} = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
故$\frac{AB}{AD}$的值为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。