《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
在平面直角坐标系中,若点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)关于点M成中心对称,则点M的坐标为$ M\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right) $.
(1)如图①,△AOB三个顶点的坐标为O(0,0),A(1,0),B(0,1),△A'O'B'与△AOB关于点P(2,2)成中心对称,求△A'O'B'各顶点的坐标；
(2)如图②,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线$ y= \frac{1}{3}x+m $恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,求m的值.

答案：
(1)设点$ O'(x_1,y_1) $，$ A'(x_2,y_2) $，$ B'(x_3,y_3) $。
∵$ \triangle A'O'B' $与$ \triangle AOB $关于点$ P(2,2) $成中心对称，
∴点$ P $分别为$ O $与$ O' $、$ A $与$ A' $、$ B $与$ B' $的中点。
对于$ O(0,0) $与$ O' $：
$ \frac{0+x_1}{2}=2 $，$ \frac{0+y_1}{2}=2 $，解得$ x_1=4 $，$ y_1=4 $，
∴$ O'(4,4) $。
对于$ A(1,0) $与$ A' $：
$ \frac{1+x_2}{2}=2 $，$ \frac{0+y_2}{2}=2 $，解得$ x_2=3 $，$ y_2=4 $，
∴$ A'(3,4) $。
对于$ B(0,1) $与$ B' $：
$ \frac{0+x_3}{2}=2 $，$ \frac{1+y_3}{2}=2 $，解得$ x_3=4 $，$ y_3=3 $，
∴$ B'(4,3) $。
(2)
∵矩形$ OABC $顶点$ B(15,6) $，
∴$ O(0,0) $，$ A(0,6) $，$ C(15,0) $。矩形对称中心为对角线交点，坐标为$ \left( \frac{0+15}{2},\frac{0+6}{2} \right)=(7.5,3) $。
∵直线$ y=\frac{1}{3}x+m $平分矩形面积，必过对称中心$ (7.5,3) $，
代入得$ 3=\frac{1}{3}×7.5 + m $，解得$ m=3 - 2.5=0.5=\frac{1}{2} $。
(1)$ O'(4,4) $，$ A'(3,4) $，$ B'(4,3) $；
(2)$ m=\frac{1}{2} $。