《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

22. (本小题8分)为了归纳"相似三角形对应线段的比等于相似比",我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比,那么相似三角形的内切圆半径的比呢?
已知:如图,$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$,相似比为k,$\triangle ABC的内切圆\odot O$与AB相切于点D,$\triangle A'B'C'的内切圆\odot O'与A'B'相切于点D'$.
求证:$\frac{OD}{O'D'}= k$.

答案： 证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴∠CAB=∠C'A'B'，AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'。
∵⊙O、⊙O'分别为△ABC、△A'B'C'的内切圆，D、D'为切点，
∴OD⊥AB，O'D'⊥A'B'（切线垂直于半径），
∴∠ODA=∠O'D'A'=90°。
∵内心为角平分线交点，
∴OA平分∠CAB，O'A'平分∠C'A'B'，
∴∠OAD=∠O'A'D'。
∴△OAD∽△O'A'D'（AA），
∴$\frac{OD}{O'D'}=\frac{AD}{A'D'}$。
设△ABC的半周长为$p=\frac{AB+BC+AC}{2}$，△A'B'C'的半周长为$p'=\frac{A'B'+B'C'+A'C'}{2}$，
则$AD=p-BC$，$A'D'=p'-B'C'$（内切圆切点到顶点距离=半周长-对边）。
∵$p=\frac{kA'B'+kB'C'+kA'C'}{2}=k\cdot\frac{A'B'+B'C'+A'C'}{2}=kp'$，
∴$AD=kp'-kB'C'=k(p'-B'C')=kA'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$。
∴$\frac{OD}{O'D'}=k$。

23. (本小题12分)如图,$\angle MAN= 90°$,B,C分别为射线AM,AN上的两个动点,将线段AC绕点A逆时针旋转$30°$得到AD,连接BD,交AC于点E.
(1) 当$\angle ACB= 30°$时,根据题意补全图形,并直接写出$\frac{DE}{BE}$的值;
(2) 写出一个$\angle ACB$的度数,使得$\frac{DE}{BE}= \frac{1}{2}$,并给出证明.

答案：
(1) 补全图形如下：
（图形描述：∠MAN=90°，AM、AN为互相垂直射线，A为顶点；C在AN上，B在AM上，连接BC，∠ACB=30°；AC绕A逆时针旋转30°得AD，连接BD交AC延长线于E。）
$\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\angle ACB=45°$
证明：
当$\angle ACB=45°$时，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，$\angle ACB=45°$，$\therefore AB=AC$。
由旋转性质，$AD=AC$，$\angle CAD=30°$。
过$D$作$DF\perp AC$于$F$，则$DF=AD\cdot\sin30°=AC\cdot\frac{1}{2}=AB\cdot\frac{1}{2}$，即$\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$。
$\because DF\perp AC$，$BA\perp AC$，$\therefore DF// BA$，$\therefore\triangle DFE\sim\triangle BAE$。
$\therefore\frac{DE}{BE}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$。
综上，$\angle ACB=45°$满足条件。