《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
在几何体表面上,蚂蚁怎样爬行路径最短?
(1)如图①,圆锥的母线长为12 cm,B为母线OC的中点,点A在底面圆周上,$\overset{\frown}{AC}$的长为4π cm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中作出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径,并标出它的长.(结果保留根号)
(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点,点A在圆柱的底面圆周上,设圆锥的母线长为l,圆柱的高为h,则蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为$\sqrt{l^{2}+h^{2}}$.(用含l,h的式子表示)
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(1)在圆锥侧面展开图中连接A、B，线段AB即为最短路径，其长为$6\sqrt{3}$cm。

答案：
(1)
圆锥底面圆周长为$2\pi r$，已知$\overset{\frown}{AC}$长为$4\pi$ $cm$，设$\overset{\frown}{AC}$所对圆心角为$n^{\circ}$，由$\frac{n\pi×12}{180}=4\pi$，得$n = 60$。
在展开图中，$OA = 12$ $cm$，$OB = 6$ $cm$，$\angle AOC = 60^{\circ}$。
根据两点之间线段最短，连接$A$，$B$，$AB$就是蚂蚁从点$A$爬行到点$B$的最短路径。
过$B$作$BD\perp OA$于$D$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$OB = 6$，则$OD = 3$，$BD = 3\sqrt{3}$，$AD = OA - OD=12 - 3 = 9$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{9^{2}+(3\sqrt{3})^{2}} = 6\sqrt{3}$ $cm$。
(2)
将圆柱和圆锥侧面展开，圆锥侧面展开图扇形弧长等于圆柱底面圆周长$2\pi r$，圆锥母线$l$，圆柱高$h$。
设圆柱底面半径为$r$，圆锥底面半径也为$r$，圆锥底面圆周长$C = 2\pi r$，圆锥侧面展开图扇形圆心角$\alpha=\frac{2\pi r}{l}×180^{\circ}÷\pi=\frac{360r}{l}$（角度）。
蚂蚁从点$A$爬行到点$O$的最短路径，在展开图中是一个直角三角形的斜边，两直角边分别为$l$和$h$，根据勾股定理，最短路径的长为$\sqrt{l^{2}+h^{2}}$。
故答案为：
(1) 展开图中连接$A$，$B$，$AB = 6\sqrt{3}$ $cm$；
(2)$\sqrt{l^{2}+h^{2}}$。