《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

如图,△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D,交⊙O于点E,交⊙O的切线AF于点F,且AF//BC.求证：
(1)AO//BE；
(2)AO平分∠BAC.

答案：
(1) 证明：
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，即∠OAF=90°．
∵AF//BC，
∴∠FAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）．
∵∠OAF=∠OAC+∠FAC=90°，
∴∠OAC+∠ACB=90°．
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE=90°（直径所对的圆周角是直角）．
在Rt△CBE中，∠ACB+∠BEC=90°（直角三角形两锐角互余）．
∴∠OAC=∠BEC（同角的余角相等）．
∵OA=OE（半径相等），
∴∠OAC=∠OEA（等边对等角）．
∴∠OEA=∠BEC，即∠OAE=∠AEB．
∴AO//BE（内错角相等，两直线平行）．
(2) 证明：
∵AO//BE，
∴∠BAO=∠ABE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABE是圆周角，且∠ABE=1/2∠AOE（圆周角定理）．
∵E，O，C共线，
∴∠AOE+∠AOC=180°（平角定义），
∴∠AOE=180°-∠AOC．
∴∠ABE=1/2(180°-∠AOC)=90°-1/2∠AOC．
∵OA=OC（半径相等），
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）．
在△OAC中，∠OAC=(180°-∠AOC)/2=90°-1/2∠AOC（三角形内角和定理）．
∴∠ABE=∠OAC．
∴∠BAO=∠OAC（等量代换）．
即AO平分∠BAC．