《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

19.(本小题 10 分)如图,在网格中,每个小正方形的边长都是 1 个单位长度,在图中建立平面直角坐标系,△ABC 的顶点都在格点上.
(1)将△ABC 向右平移 6 个单位长度得到$△A_1B_1C_1,$请在图中作出$△A_1B_1C_1；$
(2)请在图中作出△ABC 关于点 O 的中心对称图形$△A_2B_2C_2；$
(3)若将$△A_1B_1C_1$绕某一点旋转可得到$△A_2B_2C_2,$则旋转中心的坐标为______(3,0).zyjl.cn/pic18/2025-09-11/6c9d9c0d45aca7dfa92fc14ac8848050.jpg?x-oss-process=image/crop,x_0,y_0,w_1408,h_2785/crop,x_482,y_784,w_553,h_617">

答案： 1. （1）根据平移的性质：
点$A(-3,5)$向右平移$6$个单位长度得到$A_1(3,5)$；点$B(-4,1)$向右平移$6$个单位长度得到$B_1(2,1)$；点$C(-1,2)$向右平移$6$个单位长度得到$C_1(5,2)$。
然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$，作出$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）根据中心对称的性质：
点$A(-3,5)$关于点$O$的中心对称点$A_2(3, - 5)$；点$B(-4,1)$关于点$O$的中心对称点$B_2(4,-1)$；点$C(-1,2)$关于点$O$的中心对称点$C_2(1,-2)$。
然后连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$C_2A_2$，作出$\triangle A_2B_2C_2$。
3. （3）设旋转中心为$P(x,y)$：
根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点。
对于$A_1(3,5)$与$A_2(3, - 5)$，它们的连线的垂直平分线是$x = 3$；对于$B_1(2,1)$与$B_2(4,-1)$，设直线$B_1B_2$的解析式为$y=kx + b$，将$B_1(2,1)$，$B_2(4,-1)$代入$\begin{cases}2k + b=1\\4k + b=-1\end{cases}$，
用$4k + b=-1$减去$2k + b = 1$得：$(4k + b)-(2k + b)=-1 - 1$，即$4k + b-2k - b=-2$，$2k=-2$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$2k + b=1$，得$-2 + b=1$，$b = 3$，所以$y=-x + 3$。
当$x = 3$时，$y=-3 + 3=0$。
所以旋转中心的坐标为$(3,0)$。
故答案为$(3,0)$。

20.(本小题 8 分)如图,P 是等边三角形 ABC 内一点,PA= 3,PB= 4,PC= 5. 将△ABP 绕点 A 逆时针旋转到△ACQ 的位置,连接 PQ.
(1)求 PQ 的长；
(2)求∠APB 的度数.

答案：
(1)
∵△ABP绕点A逆时针旋转至△ACQ，
∴△ABP≌△ACQ，∠PAQ=∠BAC=60°，AP=AQ。
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ=AP=3。
(2)由
(1)知△APQ为等边三角形，
∴PQ=3，∠AQP=60°。
∵△ABP≌△ACQ，
∴CQ=BP=4。在△PQC中，PQ=3，CQ=4，PC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△PQC为直角三角形，∠PQC=90°。
∴∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°。
∵△ABP≌△ACQ，
∴∠APB=∠AQC=150°。
(1)3；
(2)150°